АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 6
1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 8
1.1 Определение эллиптического интеграла 8
1.2 Эллиптический интеграл 1-го рода в канонической форме Лежандра 8
1.3 Эллиптический интеграл 2-го рода в канонической форме Лежандра 10
1.4 Эллиптический интеграл 3-го рода 10
1.5Полный эллиптический интеграл 1-го рода 11
1.6 Полный эллиптический интеграл 2-го рода 12
1.7 Полный эллиптический интеграл 3-го рода 14
Выводы по разделу 15
2 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 16
2.1Постановка задачи аппроксимации 16
2.2 Виды аппроксимации 17
2.2.1 Полиномиальное приближение функций 17
2.2.2 Формула Тейлора 19
2.2.3 Приближение функций тригонометрическими многочленами 20
2.3 Алгоритм Ремеза 21
Выводы по разделу 26
3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА 26
3.1 Введение 26
3.2 Случайп=1 28
3.3 Случай n=2 33
3.4 Случай n=3 41
Выводы по разделу 44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 46
Современная теория эллиптических функций создалась в результате совместной работы выдающихся математиковХ1Х в.
Систематическоеисследование эллиптических интегралов было начато Лежандром еще в конце XVIII в. Полученные результаты были им объединены в замечательной работе “TraitedesfonctionselliptiquesetdesintegratesEulegriens". Здесь мы находим как полную теорию эллиптических интегралов, так и практические методы их вычисления. Здесь же содержатся и таблицы интегралов 1-го и 2-го рода, которые являются основными для вычислений и в настоящее время.
Работы Лежандра послужили отправным пунктом исследований Абеля и Якоби (Abel, Jacobi). Их идея рассматривать вместо эллиптического интеграла обратную функцию привела к открытию эллиптических функцийи их двоякой периодичности. Абель рассматривает область эллиптических интегралов и задачу их обращения как частный случай аналогичной задачи для любой алгебраической функции. Говоря о первых исследованиях по теории эллиптических функций, нельзя умолчать о Гауссе (Gauss). Гаусс был первым математиком, рассматривавшим эллиптические функции. Однако своих исследований он не опубликовывал при жизни, и лишь много лет спустя после смертиего исследования увидели свет. Развитие теории функций комплексного переменного заставило в дальнейшем пересмотреть построения Абеля и Якоби. Громадная роль выпала в этом деле Вейерштрассу. В его работах теория эллиптических функций принимает ту законченную и совершенную форму, в какой мы ее видим сейчас.
Вместе с ростом теории росла и расширялась область приложений. Первоначальные приложения эллиптических функций к задаче колебаний маятника распространились затем на задачи динамики твердого тела, закрепленного в неподвижной точке, нашли себе место в теории гироскопа и других задачах механики. С развитием теории упругости эллиптические функции нашли себе применение к ее задачам. Максвелл использовал эллиптические интегралы в своих работах по электричеству и магнетизму. Изучение электрических плоских полей, встречающихся в ряде задач электротехники, например в расчете электромашин, вопросы плоского движения жидкости, ряд задач аэродинамики при их решении нуждаются теперь в теории эллиптических функций. В настоящее время теория эллиптических функций крепко внедрилась, в практику, и поле ее приложений все расширяется.
Задачи приближения, аппроксимации и интерполяции математических функций и сигналов занимают важное место в решении практических задач. Области, где применимы те или иные методы решения задач приближения весьма широки и разнообразны. Они используются как при выполнении математических расчетов и математического моделирования различных систем и устройств, так и при проектировании коммуникационного оборудования, систем технического зрения, высококачественного звуковоспроизводящего оборудования.
Примером необходимости проведения процедур приближения могут служить расчеты с использованием специальных математических функций. На практике они часто заменяются приближенными аналитическими выражениями. Так, ранее применялись методы табуляции значений наиболее часто используемых специальных функций. В настоящее время эффективными средствами для вычисления специальных функций являются системы компьютерной математики. Но ввиду сложности вычислений специальных функций их реализация в данных пакетах имеет непростые алгоритмы, что приводит к существенным затратам времени вычисления и препятствует применению таких систем в практике математического моделирования систем и устройств. Кроме того, задачи интерполяции и аппроксимации имеют большое значение в образовании. Они занимают определенное место в научной литературе и в программах курсов по математике и информатике.
Цель дипломной работы - вывести приближенные формулы для вычисления эллиптического интеграла I рода с помощью многочленов наилучшего приближения по алгоритму Ремеза.
Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
1. Ознакомление с понятиями теории эллиптических интегралов.
2. Изучение алгоритмов Ремеза.
3. Составление программы для нахождения многочлена наилучшего приближения и коэффициентов выражения по алгоритму Ремеза.
В первой и во второй главе данной дипломной работы рассмотрены свойства эллиптических интегралов, их методы вычисления ивиды аппроксимации функций.
В третьей главе применили алгоритм Ремеза для приближения эллиптического интеграла первого рода в виде Рп(т1) + Оп(т1) ln— .Получены приближающие т 1
формулы для степеней многочленов Рп иОпп = 1, п = 2, п = 3. Алгоритм Ремеза хорошо разработан для приближения функции многочленом. В нашем случае нужно было приближать функцию линейной комбинацией многочлена и логарифма умноженного на степенные функции. К такому виду приближающих функций тоже применима идея алгоритма Ремеза. Но стандартных функций для этого нет. Поэтому нам пришлось напрямую программировать метод Ремеза для данного приближения. При этом получились формулы такие же, какие приведены в справочнике Стигана, но более с точными коэффициентами. Различие полученных коэффициентов начинается с 5- го знака.
