Вопрос о прогнозировании поведения (включая устойчивость) биологических систем является одним из важнейших в экологии. По этой причине возникает необходимость установления признаков устойчивости разностных систем, которые являются линеаризациями дискретных многомерных моделей динамики популяций, и выявления областей устойчивости в пространстве параметров.
Как правило, на практике неизвестны точные значения коэффициентов той или иной модели динамики популяций. В связи с этим становится актуальна задача исследования границ областей устойчивости в пространстве параметров.
Основная цель работы - получение простых, легко проверяемых признаков, которые позволяют оценить устойчивость стационарного решения модели по возможным коэффициентам системы.
Под асимптотической устойчивостью системы
к
xn =Е Aixn-i ’ (*)
i=1
где A - действительные матрицы размера (т х т) (1 < i < к), хп : N ^ Rm, будем понимать асимптотическую устойчивость ее нулевого решения. Возможные значения координат вектора хп: численность i -й популяции (1 < i < к); численность особей одной популяции, находящихся в разных ареалах; численность различных возрастных страт одной популяции;. Вектор x называется демографическим вектором. Кроме того координатами вектора x могут быть отклонения вышеуказанных величин от их стационарных значений.
Асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения (*), рассматриваемого в качестве модели динамики популяции, означает неизбежность вымирания популяции. Однако если рассматривать его, как многомерную линеаризацию логистического уравнения Пиелоу [3] относительно ненулевого стационарного решения, то асимптотическая устойчивость в таком случае означает стремление популяции к своему стационарному решению.
Достаточные условия асимптотической устойчивости соответствующего скалярного уравнения к
Xn Я ах ’
i=1
где a е R (1 < i < к), получены в работах Березанского Л., Браверман Е., Лиза Э. [1, 2].
Из результатов работы Кона [4] известно, что это скалярное уравнение асимптотически устойчиво, если к
Я "<1 < 1.
i=1
Частный случай уравнения (1), а именно, матричное уравнение
xn = xn-1 + Bxn-k,
было исследовано в работе Левицкой И.С. [5], которая получила критерий асимптотической устойчивости этого уравнения в терминах ограничений на собственные числа действительной матрицы B.
Наша задача - во-первых, аналог признака устойчивости Кона для матричного уравнения (*); во-вторых, получить матричные аналоги известных признаков асимптотической устойчивости соответствующего скалярного уравнения; в-третьих, применить полученные результаты для исследования асимптотической устойчивости частного случая уравнения (*), а именно, системы
xn = Axn-1 + Bxn-k,
где A, B - действительные матрицы размера (m х m), xn : N ^ Rm,
запаздывание k е N.
Исследование асимптотической устойчивости линейных разностных систем является актуальной проблемой. Важны результаты, отражающие качественные взаимосвязи между поведением системы и ее параметрами.
В работе доказаны признаки асимптотической устойчивости матричных уравнений, представляющих линеаризованную модель динамики популяций.
Получены следующие результаты:
о найдены многомерные аналоги известных достаточных условий асимптотической устойчивости скалярных уравнений;
о доказан признак устойчивости матричного уравнения, аналогичный признаку Кона для соответствующего скалярного уравнения.
Применение полученных признаков проиллюстрировано на примере модели «хищник-жертва»
