Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Разработка метода анализа экспоненциальной устойчивости 9
1.1. Предварительные сведения 9
1.2. Кусочно-линейное приближение 11
1.3. Оценка погрешности приближения 12
1.4. Приближение функционала 14
1.5. Оценка функционала 17
Глава 2. Частные случаи 21
2.1. Случай системы с одним запаздыванием 21
2.2. Случай системы с кратными запаздываниями 22
Глава 3. Примеры 24
3.1. Пример 1 24
3.2. Пример 2 26
3.3. Пример 3 28
3.4. Пример 4 32
Выводы 34
Заключение 35
Список литературы
Купить

При построении математических моделей в различных областях науки, таких как физика, химия, биология, экономика, социология, возникают системы дифференциал вник уравнений с запаздываниями. Запаздывание является важной частью таких математических моделей, так как скорости процессов может зависеть не только от текущего состояния, но также и от прошлых. Поэтому для построения адекватной модели какого-либо про-цесса важно учитывать запаздывание.
Метод функционалов Ляпунова - Красовского играет важную роль при анализе асимптотической устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, поскольку он дает эффективное достаточное условие устойчивости. Для линейных стационарных систем с запаздыванием на языке функционалов Ляпунова - Красовского может быть сформулирован критерий экспоненциальной устойчивости, который является аналогом классического критерия Ляпунова. Его достаточность известна как теорема Красовского и позволяет сделать вывод об экспоненциальной устойчивости системы при наличии положительно-определенного функционала, производная которого вдоль решений системы отрицательно определена.
В работах [1, 2, 3, 4] вводятся функционалы с заданной производной, которые удовлетворяют теореме Красовского в том и только в том случае, когда система экспоненциально устойчива, и, следовательно, являются пригодными для анализа экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием. Эти функционалы определяются матрицей Ляпунова [5], а их производные вдоль решений исследуемых систем совпадают с заранее заданными отрицательно-определенными квадратичными формами или функционалами.
В работах [6, 7] предложен конструктивный метод анализа экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием. В основе этого метода лежит использование функционалов с заданной производной, но их положительная определенность требуется не на всем множестве кусочно-непрерывных функций, а лишь на множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина. Для оценки функционалов в работе [6] используется кусочно-линейное приближение их аргументов. Но в таком случае остается необходимости вычисления интегралов от матриц Ляпунова, что влечет за собой высокое время вычислений.
Целью данной работы является построение конструктивного метода анализа экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием, представляющего собой модификацию метода, описанного в работе [6]. Эта модификация заключается в том, что кусочно-линейное приближение предлагается использовать не для аргументов функционалов с заданной производной, а для подынтегральных выражений функционалов целиком. В результате удается избавиться от необходимости вычисления интегралов от матриц Ляпунова. Требуется лишь вычисление самих значений матриц в конечном числе точек, соответствующих узлам разбиения. А значит, ожидается существенное повышение вычислительной эффективности метода.

Купить