Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 7
Глава 1. Метод Ляпунова-Красовского 9
1.1 Описание метода 9
1.2 Достаточные условия устойчивости 10
Глава 2. Метод Ляпунова-Разумихина 13
2.1 Вспомогательные утверждения 13
2.2 Достаточные условия асимптотической устойчивости 15
2.3 Исследование робастности 18
2.4 Случай смешанного запаздывания 20
Выводы 23
Заключение 23
Список литературы 24
Купить

Многие математические модели в естественных науках, инженерии и эконо­мике описываются с помощью дифференциальных уравнений. Обыкновен­ные дифференциальные уравнения подразумевают зависимость скорости от текущего состояния объекта и, быть может, момента времени. Одна­ко скорость некоторых процессов зависит не только от текущего, но и от некоторого предыдущего состояния.
Например, известно [2], что обыкновенное дифференциальное уравне­ние П. Ф. Ферхюльста хорошо описывает динамику популяции простейших микроорганизмов, но не подходит для моделирования численности боль­шинства млекопитающих. Этот процесс описывается уже дифференциаль­но-разностным уравнением, которое предложил Г. Хатчинсон [14], запазды­вание в нем учитывает тот факт, что особь полноценно вступает во внут­ривидовую конкуренцию при достижении репродуктивного возраста.
Для таких математических моделей исследуют устойчивость по Ля­пунову [8] положений равновесия. Для этого анализируют, как изменяется траектория движения при малых изменениях начальных данных от поло­жения равновесия. Это позволяет анализировать и прогнозировать есте­ственные процессы, проектировать надежные системы, строить стабилизи­рующие управления объектами и решать другие задачи.
Часто математическая модель задана системой дифференциальных уравнений, которые затруднительно проинтегрировать аналитически. В та­ком случае рассматривают некоторое приближение системы в окрестности положения равновесия. Доказано [8], что при выполнении определенных условий свойства устойчивости совпадают для исходной и приближенной систем, поэтому разумно исследовать свойства аппроксимирующих систем.
Наиболее изученным классом таких систем являются линейные си­стемы дифференциальных уравнений. Для них известны способы построе­ния решений и критерии устойчивости. Однако возможна ситуация, когда первое в широком смысле приближение не содержит линейных членов, в этом случае появляются однородные уравнения порядка выше 1.
Для анализа устойчивости в работе используется прямой метод Ля­пунова. Рассматриваются два способа обобщения этого метода на диф­ференциально-разностные системы: подход Н. Н. Красовского [7] и подход Б. С. Разумихина [10]. Красовский предложил рассматривать функциона­лы, зависящие от участка траектории. Этот подход позволяет получить критерий устойчивости и является более общим, но функционалы исследо­вать сложнее, чем функции. Разумихин же предложил исследовать функ­ции, но рассматривать их производные вдоль непрерывных функций, удо­влетворяющих специальному условию. Этот подход позволяет получить лишь достаточные условия, но для некоторых классов систем осуществля­ется намного проще. В работе используются оба подхода.
Задержки в моделируемых процессах имеют разную природу, поэто­му в дифференциально-разностных уравнениях используются различные запаздывания. Широко распространено постоянное запаздывание, напри­мер, оно используется в уже упомянутой модели Хатчинсона. Кроме того, запаздывание может линейно возрастать с течением времени, например, при моделировании перемешивания содержимого смесительного бака [5], движения по кольцевой дороге [17] или работы информационного серве­ра [4].
В работе исследуется устойчивость одного класса однородных диф­ференциально-разностных систем с линейно возрастающим запаздывани­ем. Работа имеет следующую структуру. После введения идут постановка задачи и обзор литературы по данной теме. Далее следует основная часть, состоящая из двух глав. Первая глава посвящена подходу Красовского. В ней построен функционал Ляпунова-Красовского для одного однородного уравнения с линейно возрастающим запаздыванием, и на его основе получе­ны достаточные условия устойчивости нулевого решения этого уравнения. Во второй главе рассматривается подход Разумихина, и на его основе полу­чены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого реше­ния одной однородной системы с линейно возрастающим запаздыванием. Кроме того, во второй главе исследуются робастная устойчивость и систе­ма со смешанным запаздыванием. В конце работы представлены выводы и заключение.
Купить