Введение 3
Постановка задачи 6
Глава 1. Линейные дифференциальные системы с постоянным запаздыванием 10
1.1. Фундаментальная матрица и её свойства 11
1.2. Функционалы полного типа 12
1.3. Матрицы Ляпунова 15
1.4. Алгоритм проверки положительной определенности квадратичного функционала 16
1.5. Построение матрицы Ляпунова и анализ положительной опре­деленности функционала на практике 22
Глава 2. Линейные дифференциальные системы с линейно воз­растающим запаздыванием 25
2.1. Анализ устойчивости 27
2.2. Фундаментальная матрица и ее свойства 28
2.3. Функционал с заданной производной 29
2.4. Матрица Ляпунова 32
Заключение 34
Список литературы 35
Купить

В настоящее время область приложений дифференциальных уравне­ний с отклоняющимся аргументом заметно расширяется. Системы таких уравнений позволяют моделировать динамические процессы в различных областях физики, техники, биологии, медицины, экономики, экологии.
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом — диф­ференциальные уравнения, в которые неизвестная функция входит при различных аргументах. Такие уравнения можно разделить на три типа: уравнения с запаздывающим аргументом, уравнения с опережающим ар­гументом и уравнения нейтрального типа. С основами теории дифферен­циальных уравнений с отклоняющимся аргументом можно познакомиться в работах [1, 2].
В настоящей работе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы, в кото­рых скорость изменения в любой момент времени зависит от предыдущих состояний, а не только от текущего состояния.
Для дифференциальных уравнений существует несколько методов анализа устойчивости. Два основных подхода были разработаны Ляпуно­вым А. М., они известны как первый и второй (прямой) методы Ляпунова.
Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи специальных функций Ляпунова. Для систем ви­да x = Ax, где x 2 Rn, A — постоянная матрица, известен критерий: система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существу­ет положительно-определенная квадратичная форма (функция Ляпунова), производная которой вдоль решений данной системы представляет собой отрицательно-определенную квадратичную форму.
Существуют обобщения второго метода Ляпунова на системы с за­паздыванием. Данная работа будет основана на одном из таких методов — методе Красовского Н. Н.. В силу того, что состояние линейной системы с запаздыванием — это сегмент траектории, а не значение в текущий момент времени, то функции Ляпунова Красовский заменяет функционалами, за­висящими от сегмента траектории. Именно эти функционалы, используе­мые для анализа экспоненциальной устойчивости, в дальнейшем получили название функционалов Ляпунова-Красовского.
Для систем с запаздыванием доказаны теоремы, аналогичные тео­ремам Ляпунова. Эти теоремы основаны на анализе расположения нулей характеристического квазиполинома на комплексной плоскости. Отрица­тельность действительных частей всех его нулей — необходимое и доста­точное условие экспоненциальной устойчивости системы [1].
Существует аналог критерия Ляпунова для линейных стационарных систем с запаздыванием. Он известен как теорема Красовского: пусть су­ществует положительно-определенный функционал, допускающий квадра­тичные оценки, производная которого вдоль решений системы представля­ет собой отрицательно-определенный функционал, тогда система является экспоненциально устойчивой.
Ставится вопрос о нахождении функционала, позволяющего исследо­вать экспоненциальную устойчивость системы с запаздыванием. Существу­ет ли такой функционал? Если существует, как его построить? Является ли он единственным, и как определить его положительную определенность?
Известны способы построения положительно-определенных функци­оналов с заданной отрицательно-определенной производной, которые, со­гласно теореме Красовского, пригодны для анализа устойчивости [5]. Один из таких функционалов — функционал полного типа, который допускает квадратичную оценку снизу в случае экспоненциальной устойчивости си­стемы.
Важным элементом, определяющим такие функционалы, является матрица Ляпунова. Для нее установлено необходимое и достаточное усло­вие единственности [6]. В данной работе остановимся на вычислении матри­цы Ляпунова для линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием. По определению эта матрица является решением специ­альной системы уравнений, в которую входят некоторое условие симмет­рии, дифференциально-разностное уравнение и граничное условие. Причем матрица Ляпунова существует и единственна.
В данной работе рассмотрены методы проверки положительной опре­деленности функционалов, которые пригодны для анализа экспоненциаль­ной устойчивости для линейных дифференциальных систем с постоянным запаздыванием. Существует несколько таких методов, мы же сосредоточи­лись на подходе, приведенном в [3].
Заметим, что не во всех случаях можно считать запаздывание посто­янным и ограниченным, поэтому появляется необходимость в рассмотрении дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием. На рисунке 1 представлены модели, которые описываются уравнениями с линейно воз­растающим запаздыванием. Такие уравнения требуют особого внимания, так как в отличие от уравнений с ограниченным переменным запазды­ванием, предыстория их решения, влияющая на последующую динамику, неограниченно возрастает при увеличении времени.
Рис. 1: Динамические модели с линейно возрастающим запаздыванием
Первая модель (слева) — модель смесительного бака, который напол­няется разными жидкостями с помощью двух труб. Жидкости втекают с массовыми скоростями F1(t) и F2(t). В обоих потоках содержится некото­рое растворимое вещество с постоянными концентрациями C-1 и C2. А из нижней части бака вытекает полученная смесь с массовой скоростью F(t) и концентрацией C(t).
Вторая модель (справа) — модель обменивающихся между собой ин­формацией и удаляющихся друг от друга объектов. В данном случае при­сутствует транспортное запаздывание — время, необходимое для передачи информации между объектами, причем это время линейно возрастает при увеличении расстояния между объектами.
Существуют модели, при описании которых появляется не только ли­нейно возрастающее запаздывание, но и постоянное. Примером такой мо­дели является модель динамики транспортного потока на КАД («Ring road traffic»). Эта модель подробно рассмотрена в работе [4], но без учета по­стоянного запаздывания. В данной работе рассмотрена дифференциальная система, описывающая модель динамики транспортного потока на КАД с учетом постоянного запаздывания.
Вопрос распространения метода Ляпунова на линейные системы с постоянным запаздыванием рассмотрен в [5, 6], а распространение метода на системы с линейно возрастающим запаздыванием — в [9]. В настоящей работе представлено распространение метода функционалов на линейные системы с постоянным и линейно возрастающим запаздываниями.
Купить