Помощь студентам в учебе
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ХОФФА В ПРОСТРАНСТВЕ «ШУМОВ»
|
Аннотация 2
Обозначения и соглашения 4
Введение 6
1 Вспомогательные сведения 10
1.1 Относительно p-ограниченные операторы 10
1.2 Функциональные пространства
и дифференциальные операторы 16
1.3 Разрешимость детерминированного уравнения Хоффа 18
2 Стохастические уравнения с относительно
p-ограниченными операторами 19
2.1 Пространства дифференцируемых «шумов» 19
2.2 Полулинейное уравнение соболевского типа 24
2.3 Обобщенное уравнение Хоффа 27
Заключение 29
Список литературы 30
Обозначения и соглашения 4
Введение 6
1 Вспомогательные сведения 10
1.1 Относительно p-ограниченные операторы 10
1.2 Функциональные пространства
и дифференциальные операторы 16
1.3 Разрешимость детерминированного уравнения Хоффа 18
2 Стохастические уравнения с относительно
p-ограниченными операторами 19
2.1 Пространства дифференцируемых «шумов» 19
2.2 Полулинейное уравнение соболевского типа 24
2.3 Обобщенное уравнение Хоффа 27
Заключение 29
Список литературы 30
Постановка задачи
Пусть Q С Rd(d 2 N) — ограниченная область с границей дQ класса C 1. Рассмотрим обобщенное уравнение Хоффа [31]
(А — A0)ut + Aut = a1u + a2u3 + ... + anu2n~1, n 2 N, (0.0.1)
моделирующее выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой под действием высокой температуры. Функция u = u(x,t), (x,t) 2 Q x R, характеризует отклонение балки от вертикали, параметры о 2 R {0}, i = 1,... ,k, характеризуют свойства материала балки, параметры А, А0 2 R+ продольную нагрузку на балку.
Уравнение (0.0.1) относится к классу уравнений соболевского типа, которые в абстактной форме имеют вид
Lu = Mu + N(u), ker L = {0}. (0.0.2)
Здесь L, M — линейные непрерывные операторы, N — нелинейный оператор. Уравнение (0.0.1) исследовалось в различных аспектах. В частности изучалась его разрешимость. В данной работе рассматривается обобщенное стохастическое уравнение Хоффа,
LV (t) = Mv(t) + N(v), ker L = {0}, (0.0.3)
где в качестве неизвестного выступает некоторый стохастический процесс О v(t), а его производная V (t) существует в смысле Нельсона-Гликлиха.
Уравнение (0.0.3) снабдим условием Шоуолтера-Сидорова
P(v(0) - Vo) = 0. (0.0.4)
Здесь P - проектор, который строится по операторам L и M. Мы рассматриваем случай, когда оператор M (Х;р)-ограничен. Целью данной работы является исследование разрешимости задачи (0.0.3), (0.0.4).
Историография вопроса
Результаты диссертации находятся на стыке трех областей математического знания — функционального анализа, теории уравнений соболевского типа, а также теории случайных процессов. Изучение разрешимости начальных и начально-краевых задач для уравнений, неразрешенных относительно старшей производной началось с работ А. Пуанкаре в конце XIX - начале XX века. В середине XX века в работах С.Л. Соболева продолжилось их более систематическое изучение. Работа С.Л. Соболева легла в основу научного направления, созданного трудами его учеников и последователей. Поэтому среди как отечественных, так и зарубежных математиков сложилась традиция уравнения вида (0.0.3) называть уравнениями соболевского типа. Помимо этого термина часто используются названия «псевдопараболические», «вырожденные», «не разрешенные относительно старшей производной» или «уравнения не типа Коши-Ковалевской». В данной диссертации мы будем называть уравнения вида (0.0.3) уравнениями соболевского типа, считая все прочие названия синонимами.
В настоящее время изучение различных задач для уравнений соболевского типа активно продолжаются, открываются новые направления исследований. В частности разрешимость стохастических уравнений соболевского типа. То есть уравнений, где в качестве неизвестного выступает некоторый стохастический процесс. Впервые обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие случайные процессы, начал изучать К. Ито. Затем подобные уравнения появились в работах Р.Л. Стратоновича и А.В. Скорохода. Не смотря на интенсивное развитие теории стохастических уравнений в настоящее время, подход Ито - Стратоновича - Скорохода Остается популярен в конечномерном случае [23, 30]. Также он распространен на бесконечномерный случай [24, 34] и на уравнения соболевского типа [4].
Краткое содержание диссертации
Диссертация кроме введения, заключения и списка литературы содержит две главы. Первая глава состоит из трех параграфов и содержит формулировки теорем и определений, которые используются для получения основных результатов. В первом параграфе представлены основные факты теории относительно p-ограниченных операторов, вводятся определения решения, фазового пространства, аналитических разрешающих групп операторов, а также теорема о существовании аналитических разрешающих групп операторов для уравнений соболевского типа. Приведенные здесь результаты почерпнуты из монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [35].
Во втором параграфе представлены основные результаты теории функциональных пространств и дифференциальных операторов. Определяются пространства Соболева, теоремы вложения Соболева и Кондрашева-Реллиха. В третьем параграфе приводятся результаты о разрешимости задачи Коши- Дирихле для обобщенного уравнения Хоффа в детерминированном случае (см. [11] и обзорную статью [8]).
Вторая глава посвящена исследованию стохастических уравнений соболевского типа. В первом параграфе рассматриваются случайные L-процессы. Вводится понятие производной Нельсона-Гликлиха случайного процесса, а также описывается структура пространства дифференцируемых "шумов". Такая необходимость возникает вследствие того, что дифференцировать случайный процесс в обычном смысле мы не можем. Данный подход уже неоднократно применялся к исследованию различных уравнений соболевского типа [4, 5, 6, 15, 27, 28, 29, 32, 33, 37, 38].
Второй параграф посвящен исследованию фазового пространства уравнения (0.0.3), которое снабжено начальным условием Шоуолтера-Сидорова (0.0.4). Таким образом, в данной части мы переносим теорию полулинейных уравнений соболевского типа с относительно p-ограниченными операторами на случай, когда в качестве неизвестного выступает стохастический процесс. В третьем параграфе абстрактные результаты, полученные во втором параграфе применяются для исследования обобщенного стохастического полулинейного уравнения Хоффа. Переход от детерминированного случая к стохастическому является вполне естественным, поскольку любое развитие процесса во времени при анализе в терминах вероятностей будет случайным процессом.
Благодарности
В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за неоценимую помощь в работе над диссертацией.
Пусть Q С Rd(d 2 N) — ограниченная область с границей дQ класса C 1. Рассмотрим обобщенное уравнение Хоффа [31]
(А — A0)ut + Aut = a1u + a2u3 + ... + anu2n~1, n 2 N, (0.0.1)
моделирующее выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой под действием высокой температуры. Функция u = u(x,t), (x,t) 2 Q x R, характеризует отклонение балки от вертикали, параметры о 2 R {0}, i = 1,... ,k, характеризуют свойства материала балки, параметры А, А0 2 R+ продольную нагрузку на балку.
Уравнение (0.0.1) относится к классу уравнений соболевского типа, которые в абстактной форме имеют вид
Lu = Mu + N(u), ker L = {0}. (0.0.2)
Здесь L, M — линейные непрерывные операторы, N — нелинейный оператор. Уравнение (0.0.1) исследовалось в различных аспектах. В частности изучалась его разрешимость. В данной работе рассматривается обобщенное стохастическое уравнение Хоффа,
LV (t) = Mv(t) + N(v), ker L = {0}, (0.0.3)
где в качестве неизвестного выступает некоторый стохастический процесс О v(t), а его производная V (t) существует в смысле Нельсона-Гликлиха.
Уравнение (0.0.3) снабдим условием Шоуолтера-Сидорова
P(v(0) - Vo) = 0. (0.0.4)
Здесь P - проектор, который строится по операторам L и M. Мы рассматриваем случай, когда оператор M (Х;р)-ограничен. Целью данной работы является исследование разрешимости задачи (0.0.3), (0.0.4).
Историография вопроса
Результаты диссертации находятся на стыке трех областей математического знания — функционального анализа, теории уравнений соболевского типа, а также теории случайных процессов. Изучение разрешимости начальных и начально-краевых задач для уравнений, неразрешенных относительно старшей производной началось с работ А. Пуанкаре в конце XIX - начале XX века. В середине XX века в работах С.Л. Соболева продолжилось их более систематическое изучение. Работа С.Л. Соболева легла в основу научного направления, созданного трудами его учеников и последователей. Поэтому среди как отечественных, так и зарубежных математиков сложилась традиция уравнения вида (0.0.3) называть уравнениями соболевского типа. Помимо этого термина часто используются названия «псевдопараболические», «вырожденные», «не разрешенные относительно старшей производной» или «уравнения не типа Коши-Ковалевской». В данной диссертации мы будем называть уравнения вида (0.0.3) уравнениями соболевского типа, считая все прочие названия синонимами.
В настоящее время изучение различных задач для уравнений соболевского типа активно продолжаются, открываются новые направления исследований. В частности разрешимость стохастических уравнений соболевского типа. То есть уравнений, где в качестве неизвестного выступает некоторый стохастический процесс. Впервые обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие случайные процессы, начал изучать К. Ито. Затем подобные уравнения появились в работах Р.Л. Стратоновича и А.В. Скорохода. Не смотря на интенсивное развитие теории стохастических уравнений в настоящее время, подход Ито - Стратоновича - Скорохода Остается популярен в конечномерном случае [23, 30]. Также он распространен на бесконечномерный случай [24, 34] и на уравнения соболевского типа [4].
Краткое содержание диссертации
Диссертация кроме введения, заключения и списка литературы содержит две главы. Первая глава состоит из трех параграфов и содержит формулировки теорем и определений, которые используются для получения основных результатов. В первом параграфе представлены основные факты теории относительно p-ограниченных операторов, вводятся определения решения, фазового пространства, аналитических разрешающих групп операторов, а также теорема о существовании аналитических разрешающих групп операторов для уравнений соболевского типа. Приведенные здесь результаты почерпнуты из монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [35].
Во втором параграфе представлены основные результаты теории функциональных пространств и дифференциальных операторов. Определяются пространства Соболева, теоремы вложения Соболева и Кондрашева-Реллиха. В третьем параграфе приводятся результаты о разрешимости задачи Коши- Дирихле для обобщенного уравнения Хоффа в детерминированном случае (см. [11] и обзорную статью [8]).
Вторая глава посвящена исследованию стохастических уравнений соболевского типа. В первом параграфе рассматриваются случайные L-процессы. Вводится понятие производной Нельсона-Гликлиха случайного процесса, а также описывается структура пространства дифференцируемых "шумов". Такая необходимость возникает вследствие того, что дифференцировать случайный процесс в обычном смысле мы не можем. Данный подход уже неоднократно применялся к исследованию различных уравнений соболевского типа [4, 5, 6, 15, 27, 28, 29, 32, 33, 37, 38].
Второй параграф посвящен исследованию фазового пространства уравнения (0.0.3), которое снабжено начальным условием Шоуолтера-Сидорова (0.0.4). Таким образом, в данной части мы переносим теорию полулинейных уравнений соболевского типа с относительно p-ограниченными операторами на случай, когда в качестве неизвестного выступает стохастический процесс. В третьем параграфе абстрактные результаты, полученные во втором параграфе применяются для исследования обобщенного стохастического полулинейного уравнения Хоффа. Переход от детерминированного случая к стохастическому является вполне естественным, поскольку любое развитие процесса во времени при анализе в терминах вероятностей будет случайным процессом.
Благодарности
В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за неоценимую помощь в работе над диссертацией.
В заключительной части исследования подведем итоги. В первую очередь отметим, что поставленная задача исследования разрешимости обобщенного стохастического уравнения Хоффа, заданного в ограниченной области с условием Шоуолтера-Сидорова полностью решена. Исследования показали, что теорию уравнений соболевского типа с относительно p-ограниченным оператором в случае, когда уравнение полулинейное, можно обобщить на случай, когда в качестве неизвестного выступает стохастический процесс. Если построить соответствующие пространства дифференцируемых «шумов», а в качестве производной использовать производную Нельсона-Гликлиха, то свойства операторов в уравнении сохраняются. Таким образом, мы смогли воспользоваться классическим подходом к исследованию фазового пространства уравнений соболевского типа.
Полученная теорема о фазовом пространстве нашей задачи практически дословно переносится с детерминированного случая на стохастический. В аналогичных работах, где рассматривалось линейное уравнение, мы наблюдаем ту же ситуацию. Следовательно, данный метод позволяет изучать стохастические уравнения, опираясь на обширную теорию детерминированных уравнений соболевского типа. Разумеется, проводить аналогии следует с осторожностью, поскольку процессы, моделируемые стохастическими уравнениями, имеют очень сложную природу. Результаты данной работы планируется опубликовать в виде статьи.
Полученная теорема о фазовом пространстве нашей задачи практически дословно переносится с детерминированного случая на стохастический. В аналогичных работах, где рассматривалось линейное уравнение, мы наблюдаем ту же ситуацию. Следовательно, данный метод позволяет изучать стохастические уравнения, опираясь на обширную теорию детерминированных уравнений соболевского типа. Разумеется, проводить аналогии следует с осторожностью, поскольку процессы, моделируемые стохастическими уравнениями, имеют очень сложную природу. Результаты данной работы планируется опубликовать в виде статьи.
