Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ КДВ-КЛАССА МЕТОДОМ АНАЛИЗА ТРАНСФОРМАЦИОННЫХ СВОЙСТВ ГАМИЛЬТОНИАНА

Работа №82750

Тип работы

Бакалаврская работа

Предмет

физика

Объем работы56
Год сдачи2016
Стоимость4770 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено
82
Не подходит работа?

Узнай цену на написание


ВВЕДЕНИЕ 2
1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА 5
1.1 Вывод уравнения КдВ 5
1.2 Универсальность модели КдВ. Решения уравнения КдВ 10
1.3 Выводы по главе 1 15
2. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КДВ 16
2.1 Элементы теории устойчивости по Ляпунову 16
2.2 Анализ ограниченности гамильтониана при его деформации 21
2.3 Выводы по главе 2 32
3. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ КдВ И ПРОБЛЕМА
УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ 33
3.1 Обобщения уравнения КдВ 33
3.2 Анализ трансформационных свойств гамильтониана
обобщенного уравнения КдВ 44
3.3 Выводы по главе 3 50
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 52
ЛИТЕРАТУРА

В последние десятилетия в различных областях физики продолжает
активно развиваться направление, связанное с исследованием нелинейных
явлений и процессов. Переход от линейности к нелинейности, при этом,
представляет собой вполне закономерный этап, обусловленный необходимостью учета все более тонких деталей наблюдаемых явлений.
В физических системах, описываемых уравнениями волнового типа,
нелинейность (т.е. зависимость поведения волнового пакета от его амплитуды), генерируя гармоники с большими волновыми числами, усиливает
диссипацию. Если при этом в системе имеется дисперсия, определяемая
как зависимость групповой скорости от волнового числа, то она, перемешивая фазы, подавляет этот процесс. В результате при равных затратах
энергии уровень колебаний в диспергирующей среде значительно выше,
чем в недиспергирующей. При этом на некоторых ветвях колебаний между
нелинейными и дисперсионными эффектами может устанавливаться равновесие, и возникают нелинейные волны и солитоны [1]. Под солитонами
обычно понимают локализованные в пространстве стационарные (локально), устойчивые во взаимодействиях образования [2]. Они представляют
собой фундаментальные структуры нелинейных волновых процессов с
дисперсией и играют важную роль в широком спектре областей, относящихся к физике сплошных сред.
Разнообразие процессов, которые необходимо принимать во внимание
при теоретическом изучении явлений в физических средах с дисперсией,
приводит к тому, что даже гидродинамические модели в достаточно полной формулировке описываются сложными системами нелинейных уравнений в частных производных. В этом плане решающее влияние на развитие теории нелинейных волн оказала идея Кортевега и де Вриза, суть которой состоит в возможности значительного упрощения исходных уравнений
без потери основных особенностей описываемых ими явлений путем со3
хранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью
точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.
Впервые такое упрощенное (модельное) уравнение было получено для
волн на «мелкой» воде Кортевегом и де Вризом в 1895 г. [1], однако сам
термин «солитон» был введен лишь в 1965 г. американскими теоретиками
H. Забуски и M. Крускалом [3], которые показали, что уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) обладает «скрытно линейными свойствами»: допускает
решения в виде стационарных уединенных волн - солитонов. Позже оказалось, что уравнение КдВ описывает широкий класс одномерных нелинейных физических систем с «действительной» дисперсией и помимо гидродинамики встречается в физике плазмы, физике верхней атмосферы и гидросферы, магнитогидродинамике, теории решеток и т.д., в этом смысле
оно является универсальным. Если средам присущи вязкость и теплопроводность, то дисперсия является «мнимой» и подход, предложенный Кортевегом и де Вризом, приводит к уравнению Бюргерса [4], решения которого хорошо описывают такие, например, нестационарные процессы, как
образование ударных волн.
Прогресс в изучении структуры и эволюции одномерных солитонов и
волновых пакетов был в значительной степени обусловлен как открытием
замечательного свойства уравнения КдВ - скрытой алгебраической симметрии, приводящей к его интегрируемости с помощью метода обратной
задачи рассеяния (ОЗР) [1], так и развитием мощного аппарата достаточно
«тонких» высокопроизводительных методов численного интегрирования
такого рода систем и проведения на их основе множества вычислительных
экспериментов.
Целью работы является исследование проблемы устойчивости решений уравнений КдВ-класса методом анализа трансформационных свойств
гамильтониана.4
Для достижения цели, необходимо решить следующие задачи:
1) изучение теории уравнения КдВ и обобщенного уравнения КдВ, а также их возможных решений;
2) изучение теории устойчивости одномерных динамических систем;
3) анализ ограниченности гамильтонианов уравнения КдВ и обобщенного
уравнения КдВ при их деформациях.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь студентам в написании работ!


В данной выпускной квалификационной работе был рассмотрен вывод уравнения КдВ, исходя из полной системы уравнений газогидродинамики для обобщенных функций и параметров.
Показана универсальность модели КдВ случаях волн на поверхности
«мелкой» жидкости, ионно-звуковых волн в плазме без магнитного поля,
МЗ волн в замагниченной плазме. Откуда сделали вывод, что уравнение
КдВ можно применять как для сред с отрицательной дисперсией, так и для
сред с положительной дисперсией.
Представлено обобщение уравнения КдВ введением высшей дисперсионной поправки, играющей определяющую роль при учете тонких дисперсионных эффектов.
При помощи функции Ляпунова (второй метод Ляпунова) в соответствии с первым приближением (первый метод) было продемонстрировано
исследование на устойчивость решения некоторых систем.
Проведен анализ устойчивости решений уравнения КдВ методом анализа ограниченности гамильтониана, имеющего смысл энергии системы,
при его деформациях [1, 2, 7], и найден критерий, отвечающий устойчивости. Таким образом, была аналитически доказана устойчивость солитонов
уравнения КдВ, а именно: доказано, что для примера, в случае, когда интегральные коэффициенты а=-3 и е=2, значения которых определяют, в конечном счете, параметры физической среды распространения волны, гамильтониан ограничен снизу, а значит, решения являются устойчивыми.
Используя полученные в работе результаты, можно исследовать и
прогнозировать устойчивость солитонных волновых структур, описываемых обобщенными уравнениями КдВ-класса, таких как: волны в вязкой
жидкости, внутренние гравитационные волны (ВГВ) в F-слое ионосферы,
нелинейные импульсы тока и напряжения в длинных электрических линиях , быстрые магнитозвуковые (БМЗ) волны в замагниченной плазме и др.53
При этом, вместо обобщенный функций и коэффициентов в модельном
уравнении надо рассматривать конкретные функции и параметры среды



1. Белашова Е.С., Белашов В.Ю. Солитоны как математические и физиче¬ские объекты. Казань: КГЭУ. 2006. 205 с.
2. Belashov V.Yu., Vladimirov S.V. Solitary Waves in Dispersive Complex Me-dia. Theory, Simulation, Applications. Springer-Verlag GmbH & Co. KG Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 2005, 303 p.
3. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19, N. 19. P. 1095-1097.
4. Березин Ю.А., Карпман В.И. О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1966. Т. 51. Вып. 5(11). С. 1557-1568.
5. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of “solitons” in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15, N. 6. P. 240-243.
6. Burgers J.M. Application of model system in statistical theory of free tur-bulence // Proc. Acad. Sci. Amsterdam, 1940. V. 43, N. 1. P. 2-12.
7. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 158 с.
8. Kawahara T.J. Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc. Jap. 1972. V. 33, N. 1. P. 260-264.
9. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Dynamics of two-dimensional solitons in weakly dispersive media // Phys. Lett. 1991. V. 154A, N. 3-4. P. 131-139.
10. Карпман В.И., Белашов В.Ю. О структуре двумерных осциллирующих солитонов в слабо диспергирующих средах: Препринт ИЗМИPАН N 25 (972). М., 1991. 19 с.
11. Topper J., Kawahara T., J. Approximate equations for long nonlinear waves on a viscous fluid // Phys. Soc. Japan. 1978. V. 44. P. 663.
12. Kawahara T. Formation of saturated solitons in a nonlinear dispersive sys¬tem with instability and dissipation // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51, N.5. P. 381383.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.




©2024 Cервис помощи студентам в выполнении работ