📄Работа №187884
Тема: КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
25 листов
Год:
2022
Просмотров:
75
4750
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Основные понятия 5
1.1 Конформное отображение 5
1.2 Многосвязная область 7
1.2.1 Двусвязная область 9
1.3 Функция Вейерштрасса ^(и) 10
1.4 Функция Вейерштрасса а(и) и ее связь с ^(и) функцией 11
1.5 Связь между сигма-функциями и тета-функциями 11
Глава 2. Вывод формулы Кристоффеля-Шварца для двусвязных областей 11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 22
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Основные понятия 5
1.1 Конформное отображение 5
1.2 Многосвязная область 7
1.2.1 Двусвязная область 9
1.3 Функция Вейерштрасса ^(и) 10
1.4 Функция Вейерштрасса а(и) и ее связь с ^(и) функцией 11
1.5 Связь между сигма-функциями и тета-функциями 11
Глава 2. Вывод формулы Кристоффеля-Шварца для двусвязных областей 11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 22
📖 Аннотация
Работа посвящена исследованию конформных отображений двусвязных областей, в частности, областей, границы которых являются многоугольниками. Актуальность темы обусловлена тем, что в отличие от односвязных областей, для двусвязных конформная эквивалентность накладывает жесткие условия на геометрию, что требует разработки специальных методов построения таких отображений. В качестве методологической основы использован принцип симметрии Римана–Шварца, позволивший проанализировать отображения круговых колец и обобщить подход на случай многоугольных границ. В результате получена формула, аналогичная формуле Кристоффеля–Шварца, но приспособленная для двусвязной области, которая задает конформное отображение кругового кольца на двусвязную область с многоугольной границей. Практическая значимость результатов заключается в их применении в задачах математической физики, теории упругости и гидродинамики, где такие отображения используются для приведения сложных областей к каноническому виду. Теоретическая база исследования опирается на классические труды по теории функций комплексного переменного, такие как учебники Шабата Б.В. и Привалова И.И. Таким образом, разработанный аппарат расширяет инструментарий конформных отображений, предоставляя аналитический метод для решения краевых задач в двусвязных областях сложной формы.
📖 Введение
Хорошо известно, что любые односвязные области (границы которых имеют по крайней мере по две точки) могут быть конформно отображены одна на другую. Иначе обстоит дело с областями двусвязными. Возьмем, например, два круговых кольца
д: r1 < z < г2 (Г2 > г1 > 0),
G'. R1 < Z < R2 (т2 > ri > 0)-
Конформное отображение одного из этих колец на другое можно получить, полагая
В
Z = Az или Z = —,z
где А и В - константы. В первом случае мы будем иметь
R2 = Ar2, R1 = Лг1л
откуда
R1 ?1
R2 г2
Во втором случае и, значит снова
R1 _Н
Т2~~2-
Нетрудно убедиться в том, что других отображений, взаимно однозначных и конформных, кольца д на кольцо G нет. В самом деле, функция Z = Z(z), дающая требуемое отображение, с помощью последовательного применения принципа симметрии Римана — Шварца может быть продолжена на всю плоскость z, из которой удалены точки z = 0, z = от, и это продолжение функции Z(z) отображает дважды проколотую плоскость z на такую же область в плоскости Z. Одна из точек z = 0, от будет устранимой особенностью и, следовательно, корнем для функции Z(z), а другая — для
, 1 гт,
функции ——- Так как простому обходу вокруг каждой из точек z = 0, от в z (z)
силу взаимной однозначности отображения отвечает простой обход в плоскости Z вокруг образов этих точек, то точки z = 0, от являются: одна простым и единственным корнем, а другая — простым и единственным полюсом функции Z(z). Отсюда и вытекает наше утверждение об отсутствии отображений, отличных от рассмотренных.
д: r1 < z < г2 (Г2 > г1 > 0),
G'. R1 < Z < R2 (т2 > ri > 0)-
Конформное отображение одного из этих колец на другое можно получить, полагая
В
Z = Az или Z = —,z
где А и В - константы. В первом случае мы будем иметь
R2 = Ar2, R1 = Лг1л
откуда
R1 ?1
R2 г2
Во втором случае и, значит снова
R1 _Н
Т2~~2-
Нетрудно убедиться в том, что других отображений, взаимно однозначных и конформных, кольца д на кольцо G нет. В самом деле, функция Z = Z(z), дающая требуемое отображение, с помощью последовательного применения принципа симметрии Римана — Шварца может быть продолжена на всю плоскость z, из которой удалены точки z = 0, z = от, и это продолжение функции Z(z) отображает дважды проколотую плоскость z на такую же область в плоскости Z. Одна из точек z = 0, от будет устранимой особенностью и, следовательно, корнем для функции Z(z), а другая — для
, 1 гт,
функции ——- Так как простому обходу вокруг каждой из точек z = 0, от в z (z)
силу взаимной однозначности отображения отвечает простой обход в плоскости Z вокруг образов этих точек, то точки z = 0, от являются: одна простым и единственным корнем, а другая — простым и единственным полюсом функции Z(z). Отсюда и вытекает наше утверждение об отсутствии отображений, отличных от рассмотренных.
✅ Заключение
В ходе работы рассматривались двусвязные области, границами которых являются многоугольники. Так же был рассмотрен вид функций, взаимно однозначно и конформно отображающих круговые кольца на двусвязные области.
Рассмотренная формула являются своеобразным обобщением формул Кристоффеля — Шварца, с помощью которых осуществляется конформное отображение кольца на двусвязную многоугольную область.
Рассмотренная формула являются своеобразным обобщением формул Кристоффеля — Шварца, с помощью которых осуществляется конформное отображение кольца на двусвязную многоугольную область.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.