Заказать работу


Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


Метод конформных отображений

Работа №33030
Тип работыДипломные работы
Предметматематика
Объем работы51
Год сдачи2019
Стоимость4900 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 55
Не подходит работа?

Узнай цену на написание
ВВЕДЕНИЕ 3
1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.... 6
1.1 Понятие конформного отображения и его основные свойства 6
1.2 Область применения конформных отображений 8
1.3 Основные принципы теории конформных отображений об
отображении одной области на другую 12
1.4 Элементарные функции 19
2.ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 35
2.1 Простейшие примеры 35
2.2 Примеры конформных отображений осуществимых основными
элементарными функциями 36
2.2.1 Линейная функция 36
2.2.2 Конформное отображение степенной функции 37
2.2.3 Дробно линейная функция 41
2.3 Применение метода конформных отображений в математической 42
физике
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Одним из основных свойств таких простейших геометрических преобразований, как параллельный перенос, поворот, центральная и осевая симметрии, преобразование подобия и гомотетия, является сохранение формы тел и фигур и как следствие - сохранение углов между гладкими кривыми. Подобным свойством обладают также многие другие преобразования, но с той разницей, что свойство сохранения формы выполняется применительно не ко всему телу или фигуре, а лишь к их достаточно малым частям. Более того, при этих преобразованиях, как и при указанных выше простейших преобразованиях, имеет место свойство сохранения углов между кривыми. Такие преобразования, называемые конформными, нашли широкое применение во многих разделах математики и других наук.
Метод конформных отображений является одним из основных методов теории функций комплексного переменного. Этот метод не является новым: впервые этот термин появился в картографической работе Ф.И. Шуберта, академика Российской АН (1788 - 1789 гг.). Независимо от него этот термин ввёл Гаусс в 1843 году.
Первое применение конформного отображения стереографической проекции на плоскость дал Птолемей (около 150 г.). Далее оно встречается у Эйлера в 1777 г., и его Эйлер назвал « подобное в малом».
Лагранж дал теорию конформного отображения поверхностей вращения на плоскость (1779 г.), но только Гаусс дал общую теорию конформных отображений, исходя из теории функций комплексного переменного (1822 г.).
Особая роль в истории конформных отображений принадлежит Риману: он методами физики доказал теорему о том, что все односвязные области расширенной комплексной плоскости с непустыми границами конформно эквивалентны, т.е. каждая из областей этого типа может быть
взаимно однозначно и конформно отображена на любую область этого типа (1851 г.). Строгое математическое обоснование теоремы Римана дали в 1900 г. Д. Г ильберт, А.Пуанкаре, К. Каратеодори.
Велика роль Римана в разработке методов конформных отображений, его геометрический подход и построение римановых поверхностей привлекли всеобщее внимание к методам ТФКП.
Можно отдельно подчеркнуть вклад отечественных ученых в развитие метода конформных отображений.
Жуковский Н.Е. и Чаплыгин С.А. в аэрогидромеханике реальную пространственную задачу свели к плоской задаче и, используя конформные отображения, продемонстрировали исключительную эффективность методов ТФКП. Особенно важна единственность решения этой задачи. Эти идеи остаются основополагающими до сих пор.
Лаврентьев М.А. в 1928 - 1935 гг. исследовал топологические свойства конформных отображений и выделил широкий класс отображений, топологически эквивалентных конформным. Так возникла теория квазиконформных отображений, которая явилась источником новых задач и исследований.
Волковыский Л.И. провёл цикл работ по изучению квазиконформных отображений на римановых поверхностях.
Лаврентьев М.А. разработал вариационные методы теории конформных отображений. В 1938г. с помощью этих методов он получил классические результаты по теории волн.
Лаврентьев М.А. и Келдыш М.В. разработали методами ТФКП теорию движения корабля на подводных крыльях.
Келдыш М.В. в 1939 г. в статье « Конформные отображения многосвязных областей на канонические области» дал важный материал по актуальным вопросам ТФКП.
Канторович Л.В. разработал метод последовательных приближений для конформного отображения круга на односвязную область.
Ведерников В.В. применил метод конформных отображений при расчёте задач фильтрации.
Уже более двух столетий продолжается развитие и использование метода конформных отображений, что доказывает неослабевающую актуальность этого метода, и соответственно актуальность выбранной темы.
Целью выпускной квалификационной работы является изучение и исследование метода конформных отображений.
Задачи исследования:
1) Дать определение конформного отображения и изучить его основные свойства;
2) изучить принципы теории конформных отображений;
3) рассмотреть примеры решения задач с применением
конформных отображений.
Объект исследования функции комплексной переменной.
Предмет исследования - методы конформных отображений.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются основные принципы конформных отображений, даётся краткое теоретическое раскрытие теории конформных
отображений. Во второй главе рассматриваются конкретные примеры применения конформных отображений к различным функциям комплексного переменного.
В процессе работы над темой диплома были расширены и углублены знания по многим вопросам математического анализа, подробно изучена теория конформных отображений, теория построения римановых поверхностей.
Поставленные в работе задачи и цели были достигнуты.
В первой главе рассмотрены общие принципы теории конформных отображений, их основные свойства.
Во второй главе рассмотрены примеры расчёта конформных отображений.
Отображение называется конформным в точке z0, если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z0; 2) растяжение в точке z0 не зависит от направления.
Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.
Конформные отображения применяется в картографии, когда требуется часть поверхности земного шара изобразить на плоскости (карте) с сохранением величин всех углов; примеры таких отображений - стереографическая проекция и проекция Меркатора . Особое место занимают конформные отображения одних областей плоскости на другие; их теория имеет существенные приложения в аэро- и гидромеханике, электростатике и теории упругости.
Начало теории конформных отображений заложено Л. Эйлером (1777), обнаружившим связь функций комплексного переменного с задачей о конформных отображениях частей сферы на плоскость (для построения географических карт). Изучение общей задачи конформных отображений одной поверхности на другую привело К. Гаусса (1822) к развитию общей теории поверхностей. Б. Риман (1851) сформулировал условия, при которых возможно конформные отображения одной области плоскости на другую, однако намеченный им подход удалось обосновать лишь в нач. 20 в. (А. Пуанкареи К. Каратеодори). Исследования Н. Е. Жуковского и
С. А. Чаплыгина, открывших широкое поле приложений конформных отображений в аэро- и гидромеханике, послужили мощным стимулом для развития теории конформных отображений как большого раздела теории аналитических функций.
Выпускная квалификационная работа может служить учебно-методическим пособием по данной теме.
1. Аксенов, А.П. Математический анализ в 4 ч. часть 1: Учебники практикум для академического бакалавриата/ А.П. Аксенов. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 282 с.
2. Баврин, И.И. Математический анализ: Учебник и практикум для СПО / И.И. Баврин. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 327 с.
3. Балдин, К.В. Математический анализ: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. - М.: Флинта, МПСУ, 2013. - 368 с.
4. Боярчук, А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т. 3. Часть 2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы / А.К. Боярчук, И.И. Ляшко, Я.Г. Гай. - М.: ЛИБРОКОМ, 2012. - 256 с.
5. Власов, В. И. Аналитико- численный метод конформного отображения сложных областей / В. И. Власов, А. Б. Пальцев // Доклады Академии наук.- 2014. - С. 12 - 14.
6. Волковыский, Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного / Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г Араманович. - М. : Физматлит, 2014. - 312 с.
7. Гаврилов, В.И. Математический анализ: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.И. Гаврилов, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 336 с.
8. Гончар, А.В. Практикум по Теории функций комплексного переменного : учебное пособие / А.В. Гончар. - Нижний Новгород : Высшая школа, 2015. - 51 с.
9. Горлач, Б.А. Математический анализ: Учебное пособие / Б.А. Горлач. - СПб.: Лань, 2013. - 308 с.
10. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. / П.Е. Данко. - М. : Оникс, 2015. - Ч.1. - 304 с.
11. Долженко, Е. П. Конформное отображение [ Электронный ресурс] // Математическая энциклопедия : офиц. сайт. - Режим доступа: http : // dic. academic. rn. (Дата обращения: 04.02.2019)
12. Ильин, В.А. Математический анализ. Ч. 1: Учебник для
бакалавров / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. - Люберцы: Юрайт,
2016. - 660 с.
13. Константинов, Р.В. Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатистики / Р.В. Константинов.- М. : Физматкнига, 2013. - 22 с.
14. Лаврентьев, М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики : монография / М.А. Лаврентьев. - М. : ОГИЗ госуд. изд-во технико- теоретической литературы, 2014. - 159 с.
15. Лаврентьев, М.А. Методы теории комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - СПб. : Лань, 2012. - 688 с.
16. Ляшко, И. Антидемидович. Т.3. Ч.1. Справочное пособие по высшей математике. Математический анализ / И. Ляшко, А.К. Боярчук. - М.: КД Либроком, 2013. - 160 с.
17. Маркушевич, А. И. Конформное отображение [ Электронный ресурс] // Большая советская энциклопедия : офиц. сайт. - 26.09.2012. - Режим доступа : http : // omop. su/ article / 7/38175. html (Дата обращения:04.02.2019).
18. Никитин, А.А. Математический анализ. углубленный курс: Учебник и практикум для академического бакалавриата / А.А. Никитин, В.В. Фомичев. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 460 с.
19. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. 2-е изд., стереотип. —М.: МЦНМО, 2004. — 208 с.
20. Просветов, Г.И. Математический анализ: задачи и решения: Учебное пособие / Г.И. Просветов. - М.: БИНОМ. ЛЗ, 2011. - 208 c.
21. Протасов, Ю.М. Математический анализ: Учебное пособие / Ю.М. Протасов. - М.: Флинта, Наука, 2012. - 168 с.
22. Теория функций комплексной переменной под ред. Свешникова А.Г., Тихонов А.Н., - М.:2005.
23. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции одного переменного. В 2 ч. / Б.В. Шабат. - СПб. : Лань, 2014. - Ч.1 - 336 с.
24. Шершнев, В.Г. Математический анализ: сборник задач с решениями: Учебное пособие / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 164 с.
25. Шубин, М.А. Математический анализ для решения физических задач / М.А. Шубин. - М.: МЦНМО, 2013. - 40 с.

Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!




Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!



Одним из основных свойств таких простейших геометрических преобразований, как параллельный перенос, поворот, центральная и осевая симметрии, преобразование подобия и гомотетия, является сохранение формы тел и фигур и как следствие - сохранение углов между гладкими кривыми. Подобным свойством обладают также многие другие преобразования, но с той разницей, что свойство сохранения формы выполняется применительно не ко всему телу или фигуре, а лишь к их достаточно малым частям. Более того, при этих преобразованиях, как и при указанных выше простейших преобразованиях, имеет место свойство сохранения углов между кривыми. Такие преобразования, называемые конформными, нашли широкое применение во многих разделах математики и других наук.
Метод конформных отображений является одним из основных методов теории функций комплексного переменного. Этот метод не является новым: впервые этот термин появился в картографической работе Ф.И. Шуберта, академика Российской АН (1788 - 1789 гг.). Независимо от него этот термин ввёл Гаусс в 1843 году.
Первое применение конформного отображения стереографической проекции на плоскость дал Птолемей (около 150 г.). Далее оно встречается у Эйлера в 1777 г., и его Эйлер назвал « подобное в малом».
Лагранж дал теорию конформного отображения поверхностей вращения на плоскость (1779 г.), но только Гаусс дал общую теорию конформных отображений, исходя из теории функций комплексного переменного (1822 г.).
Особая роль в истории конформных отображений принадлежит Риману: он методами физики доказал теорему о том, что все односвязные области расширенной комплексной плоскости с непустыми границами конформно эквивалентны, т.е. каждая из областей этого типа может быть
взаимно однозначно и конформно отображена на любую область этого типа (1851 г.). Строгое математическое обоснование теоремы Римана дали в 1900 г. Д. Г ильберт, А.Пуанкаре, К. Каратеодори.
Велика роль Римана в разработке методов конформных отображений, его геометрический подход и построение римановых поверхностей привлекли всеобщее внимание к методам ТФКП.
Можно отдельно подчеркнуть вклад отечественных ученых в развитие метода конформных отображений.
Жуковский Н.Е. и Чаплыгин С.А. в аэрогидромеханике реальную пространственную задачу свели к плоской задаче и, используя конформные отображения, продемонстрировали исключительную эффективность методов ТФКП. Особенно важна единственность решения этой задачи. Эти идеи остаются основополагающими до сих пор.
Лаврентьев М.А. в 1928 - 1935 гг. исследовал топологические свойства конформных отображений и выделил широкий класс отображений, топологически эквивалентных конформным. Так возникла теория квазиконформных отображений, которая явилась источником новых задач и исследований.
Волковыский Л.И. провёл цикл работ по изучению квазиконформных отображений на римановых поверхностях.
Лаврентьев М.А. разработал вариационные методы теории конформных отображений. В 1938г. с помощью этих методов он получил классические результаты по теории волн.
Лаврентьев М.А. и Келдыш М.В. разработали методами ТФКП теорию движения корабля на подводных крыльях.
Келдыш М.В. в 1939 г. в статье « Конформные отображения многосвязных областей на канонические области» дал важный материал по актуальным вопросам ТФКП.
Канторович Л.В. разработал метод последовательных приближений для конформного отображения круга на односвязную область.
Ведерников В.В. применил метод конформных отображений при расчёте задач фильтрации.
Уже более двух столетий продолжается развитие и использование метода конформных отображений, что доказывает неослабевающую актуальность этого метода, и соответственно актуальность выбранной темы.
Целью выпускной квалификационной работы является изучение и исследование метода конформных отображений.
Задачи исследования:
1) Дать определение конформного отображения и изучить его основные свойства;
2) изучить принципы теории конформных отображений;
3) рассмотреть примеры решения задач с применением
конформных отображений.
Объект исследования функции комплексной переменной.
Предмет исследования - методы конформных отображений.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются основные принципы конформных отображений, даётся краткое теоретическое раскрытие теории конформных
отображений. Во второй главе рассматриваются конкретные примеры применения конформных отображений к различным функциям комплексного переменного.

В процессе работы над темой диплома были расширены и углублены знания по многим вопросам математического анализа, подробно изучена теория конформных отображений, теория построения римановых поверхностей.
Поставленные в работе задачи и цели были достигнуты.
В первой главе рассмотрены общие принципы теории конформных отображений, их основные свойства.
Во второй главе рассмотрены примеры расчёта конформных отображений.
Отображение называется конформным в точке z0, если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z0; 2) растяжение в точке z0 не зависит от направления.
Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.
Конформные отображения применяется в картографии, когда требуется часть поверхности земного шара изобразить на плоскости (карте) с сохранением величин всех углов; примеры таких отображений - стереографическая проекция и проекция Меркатора . Особое место занимают конформные отображения одних областей плоскости на другие; их теория имеет существенные приложения в аэро- и гидромеханике, электростатике и теории упругости.
Начало теории конформных отображений заложено Л. Эйлером (1777), обнаружившим связь функций комплексного переменного с задачей о конформных отображениях частей сферы на плоскость (для построения географических карт). Изучение общей задачи конформных отображений одной поверхности на другую привело К. Гаусса (1822) к развитию общей теории поверхностей. Б. Риман (1851) сформулировал условия, при которых возможно конформные отображения одной области плоскости на другую, однако намеченный им подход удалось обосновать лишь в нач. 20 в. (А. Пуанкареи К. Каратеодори). Исследования Н. Е. Жуковского и
С. А. Чаплыгина, открывших широкое поле приложений конформных отображений в аэро- и гидромеханике, послужили мощным стимулом для развития теории конформных отображений как большого раздела теории аналитических функций.
Выпускная квалификационная работа может служить учебно-методическим пособием по данной теме.



1. Аксенов, А.П. Математический анализ в 4 ч. часть 1: Учебники практикум для академического бакалавриата/ А.П. Аксенов. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 282 с.
2. Баврин, И.И. Математический анализ: Учебник и практикум для СПО / И.И. Баврин. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 327 с.
3. Балдин, К.В. Математический анализ: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. - М.: Флинта, МПСУ, 2013. - 368 с.
4. Боярчук, А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т. 3. Часть 2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы / А.К. Боярчук, И.И. Ляшко, Я.Г. Гай. - М.: ЛИБРОКОМ, 2012. - 256 с.
5. Власов, В. И. Аналитико- численный метод конформного отображения сложных областей / В. И. Власов, А. Б. Пальцев // Доклады Академии наук.- 2014. - С. 12 - 14.
6. Волковыский, Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного / Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г Араманович. - М. : Физматлит, 2014. - 312 с.
7. Гаврилов, В.И. Математический анализ: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.И. Гаврилов, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 336 с.
8. Гончар, А.В. Практикум по Теории функций комплексного переменного : учебное пособие / А.В. Гончар. - Нижний Новгород : Высшая школа, 2015. - 51 с.
9. Горлач, Б.А. Математический анализ: Учебное пособие / Б.А. Горлач. - СПб.: Лань, 2013. - 308 с.
10. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. / П.Е. Данко. - М. : Оникс, 2015. - Ч.1. - 304 с.
11. Долженко, Е. П. Конформное отображение [ Электронный ресурс] // Математическая энциклопедия : офиц. сайт. - Режим доступа: http : // dic. academic. rn. (Дата обращения: 04.02.2019)
12. Ильин, В.А. Математический анализ. Ч. 1: Учебник для
бакалавров / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. - Люберцы: Юрайт,
2016. - 660 с.
13. Константинов, Р.В. Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатистики / Р.В. Константинов.- М. : Физматкнига, 2013. - 22 с.
14. Лаврентьев, М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики : монография / М.А. Лаврентьев. - М. : ОГИЗ госуд. изд-во технико- теоретической литературы, 2014. - 159 с.
15. Лаврентьев, М.А. Методы теории комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - СПб. : Лань, 2012. - 688 с.
16. Ляшко, И. Антидемидович. Т.3. Ч.1. Справочное пособие по высшей математике. Математический анализ / И. Ляшко, А.К. Боярчук. - М.: КД Либроком, 2013. - 160 с.
17. Маркушевич, А. И. Конформное отображение [ Электронный ресурс] // Большая советская энциклопедия : офиц. сайт. - 26.09.2012. - Режим доступа : http : // omop. su/ article / 7/38175. html (Дата обращения:04.02.2019).
18. Никитин, А.А. Математический анализ. углубленный курс: Учебник и практикум для академического бакалавриата / А.А. Никитин, В.В. Фомичев. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 460 с.
19. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. 2-е изд., стереотип. —М.: МЦНМО, 2004. — 208 с.
20. Просветов, Г.И. Математический анализ: задачи и решения: Учебное пособие / Г.И. Просветов. - М.: БИНОМ. ЛЗ, 2011. - 208 c.
21. Протасов, Ю.М. Математический анализ: Учебное пособие / Ю.М. Протасов. - М.: Флинта, Наука, 2012. - 168 с.
22. Теория функций комплексной переменной под ред. Свешникова А.Г., Тихонов А.Н., - М.:2005.
23. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции одного переменного. В 2 ч. / Б.В. Шабат. - СПб. : Лань, 2014. - Ч.1 - 336 с.
24. Шершнев, В.Г. Математический анализ: сборник задач с решениями: Учебное пособие / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 164 с.
25. Шубин, М.А. Математический анализ для решения физических задач / М.А. Шубин. - М.: МЦНМО, 2013. - 40 с.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!


Подобные работы


© 2008-2018 Сервис продажи готовых курсовых работ, дипломных проектов, рефератов, контрольных и прочих студенческих работ.