В данной работе рассматриваются банаховы пространства непрерывных функций С(К), заданных на компактах К и пространства непрерывно дифференцируемых функций С(1)(К), заданные на локально компактных пространствах К и вместе со своими производными стремящиеся к нулю на бесконечности. Хорошо известно, что пространства функций С(К1) и С(К2) будут изометрически изоморфны, если компакты К1 и К2 гомеоморфны. В 1935 году была доказана теорема Банаха - Стоуна, утверждающая, что если пространства С(К1) и С(К2) изометрически изоморфны, то компакты К1 и К2 гомеоморфны. В 1966 теорема Банаха-Стоуна была обобщена Амиром, который доказал, что, если К1 и К2 компактные пространства и ^: С(К1 )^ С(К2) изоморфизм, такой что ||^|| ||^-1||<2, то компакты К1 и К2 гомеоморфны. Теорема Амира является точной и константа 2 не может быть улучшена, что доказывает пример Коэна ([2]). Возникает вопрос: если компакты К1 и К2 не гомеоморфны, то могут ли пространства функций С(К1) и С(К2) быть изоморфны? Первый пример негомеоморфных компактов К1 и К2 таких, что пространства С(К1) и С(К2) изоморфны был приведён Банахом. При этом норма изоморфизма удовлетворяла равенству ||Т| ||Т-1||=4. В статье Амира также был приведён пример негомеоморфных компактов, для которых ||Т| ||Т-1||=3. В 2015 году М. Галего рассмотрел аналогичный вопрос для пространств непрерывно дифференцируемых функций. Цель работы заключается в том, чтобы выяснить вопрос: будут ли при изоморфизмах, построенных Банахом и Амиром, непрерывно дифференцируемые функции переходить в непрерывно дифференцируемые. Оказывается, что в примерах 3 и 4, рассмотренных в работе, наши условия не выполняются и в примере Коэна приведён пример непрерывно дифференцируемой функции, образ которой не является непрерывно дифференцируемым, а в примере Банаха непрерывно дифференцируемые функции также не переходят в непрерывно дифференцируемые, потому что 3
оператор продолжения строится с помощью кусочно линейной функции не дифференцируемый в счётном числе точек. Во втором параграфе исследуется вопрос: можно ли построить оператор продолжения таким образом, чтобы непрерывно дифференцируемой функции соответствовала непрерывно дифференцируемая функция. Рассматриваются два способа построения оператора продолжения с помощью квадратичных функций и кубических. Оказалось, что для квадратичных функций построенный оператор продолжения является непрерывным, а для кубических функций не является непрерывным.
В данной работе были приведены примеры негомеоморфных компактов К1 и К2, для которых пространства функций С(К1) и С(К2) являются изоморфными.
1. К1 =[0,1] а К2 = ([0,1]U{2}) и построен изоморфизм Ф: C[0,1]^ С([0,1] U {2}) с нормой ||^НН^-1Н =4.
2. К1 -последовательность изолированных точек к1, к,... c двумя предельными точками к2т ^ к°, к2т+1 ^ к1; К2 -последовательность изолированных точек t0, t1, t2,... c одной предельной точкой tn^ t. ф — изоморфорфизм с нормой ||^|| = 2, ||^-1||=|.
3. К1 -Х и К2 — У и построен изоморфизм Ф: С(К1) ^ С(К2) с нормой ||Ф||=2 и ||Ф||||Ф-1|| =1.
4. К1 = [0,1],а X2=[0,1]U[2,3]. Ф-изоморфизм Ф: С(К1) ^ С(К2) с нормой ||Ф|| = ||Ф-1||=2.
Во втором параграфе были приведены примеры построения оператора продолжения с помощью многочленов второй и третьей степени. Был получен результат, что оператор продолжения Ф:С0(Б)^ С(1) [0,1], построенный с помощью квадратичных функций является непрерывным. Как оказалось, оператор продолжения, построенный в работе с помощью многочленов третьей степени, не является непрерывным, более того функция х|F, вообще говоря, не является непрерывной в точке t=0.
