ВВЕДЕНИЕ 3
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ 14
1.1. Двухпродуктовая модель системы образования 14
1.2. Многопродуктовая и континуальная модель системы
образования 19
1.3. Постановка различных задач оптимального управления системы
образования 23
РАЗДЕЛ 2. ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ 34
2.1. Постановка оптимизационной задачи повышения качества
образования 34
2.2. Законы развития и ожидаемое решение поставленной
оптимизационной задачи 35
ВЫВОДЫ 39
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 42
Купить

Непосредственно к рассматриваемому вопросу качества получаемого образования относится интересное высказывание директора Центра русских исследований Московского гуманитарного университета, академика Международной академии в Инсбруке (Австрия) А.И. Фурсова. Считаем важным и нужным привести его, несмотря на величину объема этого цитирования: «Недавно, когда хоронили Сергея Петровича Капицу, очень много вспоминали, в частности, одну из его фраз, которую он написал в 2009 году: "Мы добились, чего хотели. Мы создали страну идиотов". Из уст С.П. Капицы это звучало довольно жёстко. Как можно отнестись к этим словам Сергея Петровича? По мнению А. Фурсова, если вспомнить, что "идиот" по- гречески - это человек, который живёт так, как будто окружающего мира не существует, то действительно в результате того обеднения образовательных программ, которое произошло за последние 10 лет в школе, да, мы создаём идиотов. Если в школе сокращаются часы на базовые предметы, если в новом госстандарте планируется слить русский язык и литературу, если планируется вместо химии, биологии и физики создать некое естествознание в виде упрощённой версии, да, С.П. Капица был прав. Насколько известно, вы - человек, не жалующий реформу образования в том виде, в котором она проводится.
Как пояснил гость в студии, её невозможно жаловать, потому что её объективный результат-это уничтожение образования, это превращение образования в некий набор очень поверхностных дисциплин. Ну и это очень напоминает американскую систему образования.
Американцы сильно упростили свою систему образования в 70-е - 80-е годы. В этом отношении, то, что делается в России последние десять лет, это повторение американского опыта. И это притом, что сейчас американцы воют от того, какое у них образование в школе, что школьники мало что знают. Россия идёт тем же путём, утрачивая те достижения, которые были в стране. Слов нет, советскую систему образования нужно было менять, хотя для своего времени она была одной из лучших в мире. Неслучайно её копировали. Но реформировать - не значит ломать.
Чем тогда можно объяснить, что американские университеты считаются лучшими в мире и занимают верхние строчки во всевозможных рейтингах, если в США так плохо с образованием?
А. Фурсов считает, что тому есть несколько причин. У американцев как бы двухуровневое образование в школе. Он может об этом судить лично, поскольку у него сын учился в американской школе, когда они жили в Америке. Система там такая. Если ученик учится плохо, это ничего, хорошо. Если ученик учится хорошо, то это очень хорошо. Кроме того, если ребёнок демонстрирует, особенно в последних классах школы, хорошие знания, то его начинают продвигать. Школа заключает с ним договор о том, что если ученик наберёт энное количество баллов, начнёт читать дополнительную литературу и сдаст определённым образом то, что он должен сдать, тогда ученик сам выбирает университет, в котором он будет учиться и за его учёбу будут платить. Подобным образом рекрутируются из неэлитарных слоёв те люди, которые будут продвигаться наверх. Не в верхние 2 процента, но в следующие 8 процентов. Это одна сторона дела.
Во-вторых, в американских университетах учится очень много людей из других стран, а приезжают далеко не худшие. То есть, здесь есть реальное противоречие между уровнем американской школы и уровнем американского университета. Хотя уж очень преувеличивать уровень американских университетов, тоже не стоит.
Это некое такое времяпрепровождение. Системе это выгодно вот чем. Чем люди будут ходить бунтовать, лучше пусть они тратят энергию на обучение, ничего не делают, потихонечку курят травку и т.д. То есть, университеты в США в массе своей выполняют некую социальную функцию. А элиту готовят совсем в других учебных заведениях, где, например, запрещены тесты, которые категорически не приветствуются. Потому что, что такое тестовая система? Тестовая система отучает человека делать самую важную вещь - ставить проблему, ставить вопрос. Более того, она не учит отвечать на вопрос, она учит выбирать из того, что тебе уже дано. То есть, на самом деле под видом обучения проводится социальная дрессура. Молодой человек привыкает к тому, что он сам не ставит проблему, а выбирает из того, что ему предлагается. Пролаял три раза - получи кусочек сахара или кусочек мяса. Если вспомнить того же Сергея Петровича Капицу, то он как-то сказал, что математика-это предмет, который русские профессора преподают китайским студентам в американских университетах.
Гость в студии согласился полностью с этим выражением. Когда он приехал в Америку и его сын пошёл в американскую школу, а в России сын перешёл из 8 в 9 класс, то в Америке он на математику ходил не в 9 -й класс, а в 11-й, и ему там было очень просто учиться. Впрочем, то же касается и химии. То есть, в России был создан такой задел образования в послевоенный период, что вот его уже 10 лет пытаются разломать, а всё никак не получается. Какой же мощной должна была быть образовательная система, что при всех усилиях не получается её сломать» [30].
Существуют много ответов на извечный вопрос: Что такое математика?
От вышеприведенного шутливого определения, который дал профессор С. Капица до весьма серьезных. Подчеркивается, что математика - дедуктивная и структурная наука. Однако при изучении математики, с нашей точки зрения, недооценивается ее индуктивная составляющая. Как отмечает известный математик и педагог профессор МФТИ Л.Д. Кудрявцев [29, с. 98- 99] : «Индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, представляются более благоприятствующими активному усвоению материала учащимися. Именно в этом смысле и понимается предпочтение индуктивного метода перед дедуктивным. Что же касается затраченного времени, то если считать не по числу лекционных часов, а по числу часов, затраченных учащимися на усвоение материала, то вряд ли оно окажется большим, чем при преподавании, основанном на дедуктивном методе. К сожалению, встречаются преподаватели математики, которые любят увлекаться формализмом, абстракциями, излагая при этом материал как нечто данное свыше, непонятно как придуманное кем-то. Это обычно дает большую экономию во времени при изложении материала, однако, как правило, совершенно неоправданно с точки зрения его активного усвоения».
Для повышения качества получаемого математического образования была предложена в 2004 г. профессором С.К. Гирлиным иллюстративно- репрезентативная технология изучения математики. Как утверждается в [1], «суть репрезентативного метода (вначале он назывался наглядным) заключается в том, что доказательное размышление или доказательство справедливости какого-либо свойства элементов из некоторого класса элементов проводится с использованием некоторых конкретно выбранных элементов (представителей) из рассматриваемого класса элементов. При этом свойствами выбранных элементов, не присущими всем элементам рассматриваемого класса, нельзя пользоваться. Это означает, например, что действия или операции над выбранными представителями не должны выполняться (так как результат выполнения присущ только выбранным представителям), а должны лишь указываться (то есть фактически должен указываться алгоритм, приводящий к решению задачи - требуемому доказательству). Количество выбранных представителей определяется лишь поставленной целью использования репрезентативного размышления (доказательства): сделать размышление для нашей интуиции более понятным и наглядным, подкрепляя дедуктивное размышление индуктивным. Иллюстративный метод на примере представителей рассматриваемого класса математических объектов может позволить обнаружить некоторые новые свойства, характерные не для всех объектов класса, а только лишь для объектов из некоторого подкласса. А это может помочь сформулировать и доказать новую теорему. Кроме того, иллюстративно-репрезентативный метод может позволить заметить, что исследуемое свойство объектов справедливо для более широкого класса объектов и сформулировать новую теорему».
Сочетание иллюстративного и репрезентативного методов называется иллюстративно-репрезентативным (ИР) методом или ИР-методом.
Студентами Гуманитарно-педагогической академии (филиал) Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского (в г. Ялте) под руководством профессора Гирлина С.К. было написан ряд статей, включающих доказательства с помощью ИР-методов теорем математического анализа и теории дифференциальных уравнений. Это, например, введение индуктивным способом и ИР-методом определений понятий дифференцируемости функции и связи с непрерывностью, доказательство формулы интегрирования по частям, теорема Римана о сумме условно сходящегося ряда с действительными членами, теорема о структуре общего решения линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения порядка выше первого, теоремы теории интегральных уравнений вольтерровского типа и математической теории развития (новой науки, недавно созданной работами академика В.М. Глушкова, профессоров В.В. Иванова и С.К. Гирлина). Кроме того, получены в классической области математики (математическом анализе) новые формулы - аналоги формул дифференциальных теорем о среднем Лагранжа и Коши, а также новые формулы - аналоги формул интегральных теорем о среднем [15-20]. За последние 8 лет 16 студентов Гуманитарно-педагогической академии, применявшие в своих конкурсных работах ИР-метод, победили в семи международных и двух всероссийских конкурсах научных работ.
Нельзя здесь не упомянуть и мнение известного математика Н. Бейли [4, с. 315-316]: «В отношении повседневных методов управления стоит изучить опыт применения вычислительной машины для обработки медицинской документации в детской больнице на 260 мест в г. Акрон. Одна из основных причин, побудивших ускорить обработку и передачу документации, состояла в том, что стало ясно, какую значительную часть своего времени медицинский персонал тратит на оформление различных бумаг (графиков, диаграмм, записей результатов клинического обследования, лабораторных анализов, врачебных назначений, касающихся медикаментов и диеты), на составление распорядка работы клиники, расписаний работы операционных и т. д. В некоторых случаях высококвалифицированные медицинские сестры тратили до 40 % своего времени на выполнение, по существу, канцелярской работы. Существовавшая система не позволяла им уделять достаточное внимание больным и находиться непосредственно у их постели столько времени, сколько требуется.
К счастью, выписка счетов и вся бухгалтерская работа в этой больнице уже была ранее автоматизирована и производилась с помощью вычислительной машины. Эту машину связали с 14 периферийными устройствами ввода и вывода данных, расположенными в различных сестринских постах и специальных отделениях больницы. В результате всю информацию, обычно накапливаемую в разных местах в виде записей, отыскание и обработка которых поглощала массу времени, можно было хранить в центральной вычислительной машине и в случае надобности получать практически мгновенно. Это не только резко сократило время, необходимое для записи и поиска информации, но и позволило установить более эффективный контроль, что крайне важно при обращении с лекарствами и при обработке рецептов. Кроме того, с помощью специально разработанной программы на центральной вычислительной машине могут решаться такие сложные и трудоемкие задачи, как распределение ежедневных обязанностей персонала или составление графика пользования операционными. Экономия только на одном распределении обязанностей персонала оказалась весьма значительной: ранее этой работой занимались две старшие медицинские сестры по 8 часов в сутки каждая, а вычислительная машина выполнила ее за 7 минут.
Нет необходимости перечислять все те разнообразные задачи, которые решает вычислительная машина в этой больнице. Главное состоит в том, что автоматизация такого рода работы вполне возможна, и вместо удаления человека из сферы медицинского обслуживания, о чем твердят некоторые скептики, достигается как раз обратный результат, поскольку врачи и медицинские сестры освобождаются от чисто канцелярской и технической работы.
Приведенный пример показывает, какой выигрыш может получить такая сложная система, как современная больница, при внедрении автоматических методов обработки данных. Однако одна эта мера недостаточна для улучшения деятельности существующих систем. Необходимо исследовать свойства и возможности новых форм организации. По ряду причин во многих случаях практически невозможно экспериментально проверить большое число вариантов. Поэтому необходим метод, который позволял бы предварительно осуществлять теоретическую проверку новых идей, чтобы лишь наиболее перспективные из них подвергались практическим испытаниям. Методы моделирования наилучшим образом подходят для решения задач такого рода».
Очевидно, что все вышесказанное относительно эффективности функционирования больницы можно отнести и на счет повышения эффективности деятельности любой системы образования. Общеизвестно. что педагоги как средней, так и высшей школы чрезмерно загружены канцелярской работой, всевозможными отчетами вместо того, чтобы заниматься своей главной работой - преподаванием и научными исследованиями. Таким образом, эффективность функционирования системы образования можно резко повысить, автоматизировав многие производственные процессы, перейдя на безбумажную документацию и отказавшись от совершенно ненужных, кроме администрации (в целях облегчения ей контроля над педагогами), многочисленных ежемесячных отчетов. Этот способ повышения эффективности функционирования системы образования очень важен, но в настоящей работе не рассматривается. Обычно эффективность работы системы образования находится с помощью обработки статистических данных, однако эту эффективность можно вычислять и математическим способом [20]. В данной работе нас интересует другой важный способ - оптимальное распределение ресурсов системы образования в целях повышения эффективности ее функционирования с использованием математического и компьютерного моделирования.
Как пишет академик Г.И. Марчук в предисловии к [24], «в настоящее время в связи с интенсивным развитием вычислительной техники и соответствующего математического обеспечения метод моделирования трудных задач при помощи ЭВМ стал одним из главных приемов теоретических и прикладных исследований. Различные проблемы для развивающихся систем - важный класс таких задач. К числу развивающихся систем относятся экономические системы в целом, отдельные отрасли и предприятия, научные организации, вычислительные центры, экологические системы, популяции, отдельные виды животных и растений, организм человека, различные органы и подсистемы организма, клетки животных и растений и т.д.» [24, с. 5].
Как отмечено в [7, с. 12]: «Никакая научная картина мира невозможна без математики. В своей наивной натурфилософии древние греки впервые в истории осознали могущество человеческого разума, признали необходимость и возможность исследования природы. Закон и порядок существуют в природе, и математика есть ключ к их пониманию. Математика способна открывать истины о природе. Хотя путь познания мира человеком долог и труден, это не значит, что человечество мучительно изобретает или придумывает знания. Да, люди создают знания и развивают науку, но знания о реально существующем мире - мире, живущем и меняющемся по объективным законам. Задача науки - открывать эти законы».
Математическая модель (в общем смысле) представляет собой набор символических математических объектов и отношений между ними. Математическая модель будет воспроизводить выбранные стороны исследуемой системы, если будут установлены правила соответствия, которые связывают конкретные объекты и отношения системы с определенными математическими объектами и отношениями. По широко известному определению академика Амосова Н.М., «модель - это система, отражающая другую систему».
Математическая теория развивающихся систем [9, 36-39] впервые была применена для моделирования системы образования (СО) американским (ранее - советским) известным математиком В.В. Ивановым [38, с. 234-235]. В дальнейшем эта модель Иванова В.В. была уточнена и обобщена его учеником - Гирлиным С.К. (в частности, было учтено перераспределение не только внутренних, но и внешних ресурсов, поступающих в СО извне) [2, 3, 9, 11, 13,14].
Актуальность выбранной темы. Проблема повышения качества образования во все времена является весьма актуальной, в особенности это справедливо в настоящее время на фоне явного ухудшения качества получаемого математического образования.
Объектом исследования является среднее и высшее образование.
Предметом исследования является проблема повышения качества получаемого образования.
Цель работы состоит в изучении известных математических моделей СО и постановке математической оптимизационной задачи повышения качества получаемого образования с помощью перераспределения имеющихся ресурсов системы образования, предложив новый (ранее не рассматривающийся) критерий оптимизации.
Задачи работы:
- изучить имеющуюся научную и методологическую литературу по рассматриваемым вопросам;
- изучить имеющиеся аналитические решения задачи прогноза функционирования двухпродуктовой СО;
- изучить имеющиеся математические интегральные модели двухпродуктовой, многопродуктовой и континуальной СО, методы решения систем модельных уравнений и неравенств, постановки различных оптимизационных задач и некоторые методы их аналитического решения;
- предложив новый критерий оптимизации поставить оптимизационную задачу повышения эффективности функционирования двухпродуктовой СО;
- провести компетентностный анализ полученных результатов и предложить направление дальнейших исследований.
Предмет исследования позволил сформулировать цель исследования - изучить особенности применения репрезентативного метода обучения математике в рамках современной образовательной системы и разработать программу по внедрению данного метода в образовательный процесс.
Научная новизна исследования заключается в выборе нового критерия оптимизации для математической постановки задачи оптимального распределения ресурсов с целью повышения качества получаемого образования.
Теоретическая значимость исследования заключается в систематизации и обобщении методического материала, связанного с математическим описанием динамики СО и исследовании различных задач оптимизации функционирования СО.
Практическая значимость данной работы заключается в том, что предложенные в исследовании материалы могут быть полезны для планирования деятельности СО.
В ходе решения поставленной проблемы использовались следующие методы исследования: теоретические - анализ научной и методической литературы по исследуемой проблеме, методы функционального анализа - в частности метод неподвижной точки, метод Бернулли решения линейных дифференциальных уравнений, а также широко известные методы математики - аналогия и индукция.
Апробация результатов исследования и публикации. Некоторые результаты данной квалификационной работы получили апробацию в ряде докладов на семинарах кафедры математики, теории и методики обучения математики ГПА (ф.) КФУ им. В.И. Вернадского. Некоторые результаты автора ВКР, относящиеся к рассматриваемой теме исследования, опубликованы в 6 научных статьях [15-20] и были представлены на 4-х Международных конкурсах (на которых автор победил с дипломом 1 степени).
Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю работы - Гирлину Сергею Константиновичу, а также за внимание и оказанные консультации - специалистам Кафедры математики, теории и методики обучения математике Института экономики и управления Гуманитарно - педагогической академии (филиал) ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского» в г. Ялте.

Купить