Тема: ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ С 1-ТОПОЛОГИЕЙ

Множество непрерывных вещественнозначных функций C (X), где X - тихоновское пространство, можно наделить различными топологиями. Исторически первыми топологиями, введенными на пространстве непрерывных функций, были топология поточечной сходимости и топология равномерной сходимости (например, см.
[1] , §2.6). Последняя задается на C(X) с помощью базы в каждой точке. Базисное
множество в точке f е C(X) имеет вид: {g е C(X) /|f (х)-g(х)| < s, Vx е X}. Естественным обобщением этой топологии является 2- топология, называемая ещё топологией равномерной сходимости на множествах из семейства 1. Пусть 2- семейство ограниченных в X множеств, то есть таких множеств, на которых всякая функция из C (X) ограничена. Тогда всевозможные множества вида
V(f,A,s) = {g еC(X)/|f (х)-g(х)| < s, Vx е A, A е 2} образуют предбазу 2- топологии
[2] . Мы будем, следуя статье [3], обозначать пространство C(X) с 2-топологией символом C2u (X) .
Ещё один подход к заданию топологий на пространстве C (X), использующий семейства подмножеств из X приводит к множественно-открытой топологии [2]. Она задается с помощью предбазисных множеств вида
[A, U] := {f е C (X) / f (A) о U, A е 2, U открыто в К}. Пространство непрерывных функций с такой топологией обозначается С2(X). При каждом выборе семейства 1 возникает вопрос о связях свойств этого семейства и свойств соответствующих пространств ('. (X) и C2,u (X) .
Разъяснив в первом параграфе настоящей работы необходимые термины и установив необходимые обозначения, во втором параграфе мы изучаем вопрос о совпадении множественно-открытой топологии и 2- топологии. Выясняется (лемма 2), что при некоторых довольно естественных условиях на семейство 1 названные топологии действительно совпадают. В то же время, без этих условий между ними могут быть большие различия. Приведён пример, когда 2-топология является линейной, а множественно-открытая топология - нет.
В третьем параграфе изучаются пространства ( (X), где семейство 2 всегда состоит из C-компактных множеств. Изучаются связи между свойствами семейства А и свойствами соответствующего пространства C^ (X). Основополагающей здесь является следующая теорема.
Теорема 1 [2]. C2 (X) хаусдорфово ТВП тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
1) 2-п-сеть в X ;
2) 2 состоит из C- компактных множеств;
3) 2 = 2(C).
Основным результатом настоящей работы, содержащимся в третьем параграфе, является построение примеров семейств 2 C- компактных подмножеств отрезка [0,1], которые показывают, что свойство пространства С2 [0,1] быть ТВП не зависит от свойства 2 быть п- сетью в [0,1], и что хаусдорфовость C2 [0,1] не зависит от справедливости равенства 2 = 2(C).

Купить