В данной работе изучены группы непрерывных отображений с топологией поточечной сходимости.
Основой моей работы послужила статья С.П Гулько, А.В.Титовой- Классификация пространств непрерывных 5 1 значных функций на полиэдрах. Основная моя задача - повторить часть результата данной статьи.
В моем случае будут 5 1х5 1 значные функции. Так называемые тор-значны функции. 5 1х5 1 тор, который рассмотрим как факторгруппу ( R /Z) 2 с естественной топологией. Множество всех представителей можно отождествить с произведением полуинтервалов [0,1) х [0,1). Данное множество образует топологическую группу относительно операции сложения. Иными словами мы описываем не одно конкретное отображение, а сразу целую группу отображений. Также, для простого представления о том, что такое симплекс, мы можем разноразмерные симплексы сопоставлять с треугольниками того же размера. Помимо этого, можно сказать, что в данной работе рассмотрены не сильно сложные Объекты, однако, их структура на порядок сложнее самих объектов. Более легко представить комплекс, как дом, состоящий из кирпичиков(симплексов). Отличное упрощение в восприятии о том, что за топология принимает участие в работе, это наличие лишь нескольких видов. Топология поточечной сходимости- для построенных гомеоморфизмов и отдельно всех непрерывных отображениях( вложениях), и топология, порожденная обыкновенной метрикой. Более того, речь пойдет не просто о метризуемых пространствах, а так же о компактных метризуемых пространствах.
Мной были изучены некоторые аспекты теории групп( а именно абелевых). Так же были изучены топологические группы. На основании изучения были доказаны аналоги теорем из статьи С.П Гулько и Титовой. В аналоге статьи были 5 ■*■- значные функции. А в моей работе использованы 5 1*5 1(тор-значные функции). Сложности добавило то, что 5 1*51 - двумерная фигура, являющаяся произведением двух одномерных сфер. Так же, разница в представлении чисел на торе. Таким образом, даже незначительные изменения влияют на результат исследования. Хотелось бы обратить внимание на то, как повлиял оператор U, а точнее его задание, на положительный результат теоремы с другими входными данными. Оперируя абстрактными математическими объектами весьма непросто.
Более того, сложности возникают в неоднозначности множества определений одних и тех же объектов. На мой взгляд, подобные работы не только несут важность для математики в целом, а точнее в гомологической теории, теории групп, пространств непрерывных функций с топологией поточечной сходимости, структурных пространств. Я выбрал данную тематику для своей ВКР потому, что представление, разбор, изучение абстрактных вещей со сложными структурами, помогает восприятию всего иного, как объектов, наделенных подобными возможностями. Так же развитие абстрактного мышления(чисто определениями) отлично влияет на мозговую деятельность.
Зачастую многие решают, что в определенной ячейки любой науки се давно сделано, как например в теории групп. Однако данное направление непрерывно развивается и создает симбиоз с теми направлениями, с которыми на первый взгляд нет ничего общего.
В связи с этим, топология и все ее вытекающие, на мой взгляд являются одними из самых Интересных и непростых направлений во всеобъемлющей математики.
