ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
|
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ "ПРОИЗВОДНАЯ" В ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ 6
1.1 Математическое понятие «Производная» 6
1.2 История введения производных в курс математики в
Российских школах 12
1.3 Применение производной к исследованию функций
в современных учебниках 16
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ
ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ 20
2.1 Анализ методических ресурсов 20
2.2 Задания с производной в ЕГЭ 22
2.3 Методические рекомендации по подготовке к ЕГЭ 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 48
ПРИЛОЖЕНИЕ
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ "ПРОИЗВОДНАЯ" В ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ 6
1.1 Математическое понятие «Производная» 6
1.2 История введения производных в курс математики в
Российских школах 12
1.3 Применение производной к исследованию функций
в современных учебниках 16
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ
ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ 20
2.1 Анализ методических ресурсов 20
2.2 Задания с производной в ЕГЭ 22
2.3 Методические рекомендации по подготовке к ЕГЭ 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 48
ПРИЛОЖЕНИЕ
Актуальность темы исследования
В настоящее время многие страны мира все больше интересуются проблемами математического образования. Значение математики в жизни современного общества увеличивается. Люди в повседневной жизни постоянно решают задачи, полностью описанные математическим языком с помощью функций. Поэтому, изучение функций и построение графиков один из важных разделов школьной математики.
Курс алгебры и начал анализа является одним из ключевых для старшей школы. В 10-11 классах изучение дисциплины проходит на трех уровнях: базовом, углубленном и профильном. Изучение элементов математического анализа подразумевается на каждом из названных уровней. Задания из анализа введены в ЕГЭ, поэтому знание раздела, связанного с исследованием функций, необходимо для успешной сдачи экзамена по математике.
Низкие результаты выполнения заданий, связанных с исследованием функций средствами математического анализа, обусловлены недостатком графических и геометрических представлений у обучающихся и недостаточным владением свойствами производной. Только около 45% обучающихся по результатам статистических данных могут справиться с заданием №7 и №12 профильного уровня математики на ЕГЭ. Чтобы найти на графике функции значение аргумента, при котором на определенном отрезке функция имеет заданное значение производной, или на графике производной отметить точку экстремума, необходимо уметь переформулировать условие задания с формального языка на графический и наоборот. Для успешного решения различных задач, связанных с исследованием функций с помощью производной обучающимся недостаточно рассматривать только типовые задания. Важно владеть понятием производной, знать свойства касательной к графику и уметь исследовать функцию, оценивать скорость процесса, описываемого функцией и изменения ее величины.
Важность изучения раздела, связанного с производной, для успешной подготовки обучающихся к дальнейшему изучению математики определило тему исследования в рамках выпускной квалификационной работы - «Применение производной к исследованию функций в школьном курсе математики».
Цель исследования: подобрать систему задач по теме «Производные» для подготовки к единому государственному экзамену и разработать методические рекомендации по подготовке к экзамену.
Объект исследования: методика обучения производным в курсе средней общеобразовательной школы.
Предмет исследования: методические особенности обучения решению задач по теме «Производные» при подготовке к ЕГЭ.
Задачи:
1. Провести литературно-критический обзор по теме исследования;
2. Провести анализ учебников для старшей школы по теме «Производная»;
3. Подготовить учебные материалы, которые обеспечивали бы усвоение и закрепление знаний, необходимых для подготовки к ЕГЭ по разделу «Производная»;
4. Обобщить методические рекомендации по подготовке к единому государственному экзамену по теме «Производная».
Структура работы. Дипломная работа включает в себя введение, две главы, заключение, список использованной литературы (30 наименований), приложение.
В первой главе «Теоретические основы введения понятия «производная» в школьный курс математики» рассмотрены определение и свойства математического понятия «Производная» в современной трактовке. Также в этой главе проведен обзор источников по истории включения элементов высшей математики, в частности, элементов дифференциального исчисления, в школьный курс математики.
Во второй главе «Методический подход к использованию производной для исследования функций» проведен анализ учебников для старшей школы в части, касающейся темы, связанной с производной и ее применением для исследования функций. Также проанализированы возможности пособий и Интернет-ресурсов для дополнительного обучения.
Особое внимание во второй главе уделено вопросам подготовки учащихся к выполнению заданий, связанных с производной, на ЕГЭ по математике. На основе изучения работ учителей практиков и методистов предлагаются рекомендации по подготовке к ЕГЭ по заданиям на использование определения или свойства производной, а также на исследование функций средствами дифференциального исчисления.
В заключении представлены итоги исследования.
В настоящее время многие страны мира все больше интересуются проблемами математического образования. Значение математики в жизни современного общества увеличивается. Люди в повседневной жизни постоянно решают задачи, полностью описанные математическим языком с помощью функций. Поэтому, изучение функций и построение графиков один из важных разделов школьной математики.
Курс алгебры и начал анализа является одним из ключевых для старшей школы. В 10-11 классах изучение дисциплины проходит на трех уровнях: базовом, углубленном и профильном. Изучение элементов математического анализа подразумевается на каждом из названных уровней. Задания из анализа введены в ЕГЭ, поэтому знание раздела, связанного с исследованием функций, необходимо для успешной сдачи экзамена по математике.
Низкие результаты выполнения заданий, связанных с исследованием функций средствами математического анализа, обусловлены недостатком графических и геометрических представлений у обучающихся и недостаточным владением свойствами производной. Только около 45% обучающихся по результатам статистических данных могут справиться с заданием №7 и №12 профильного уровня математики на ЕГЭ. Чтобы найти на графике функции значение аргумента, при котором на определенном отрезке функция имеет заданное значение производной, или на графике производной отметить точку экстремума, необходимо уметь переформулировать условие задания с формального языка на графический и наоборот. Для успешного решения различных задач, связанных с исследованием функций с помощью производной обучающимся недостаточно рассматривать только типовые задания. Важно владеть понятием производной, знать свойства касательной к графику и уметь исследовать функцию, оценивать скорость процесса, описываемого функцией и изменения ее величины.
Важность изучения раздела, связанного с производной, для успешной подготовки обучающихся к дальнейшему изучению математики определило тему исследования в рамках выпускной квалификационной работы - «Применение производной к исследованию функций в школьном курсе математики».
Цель исследования: подобрать систему задач по теме «Производные» для подготовки к единому государственному экзамену и разработать методические рекомендации по подготовке к экзамену.
Объект исследования: методика обучения производным в курсе средней общеобразовательной школы.
Предмет исследования: методические особенности обучения решению задач по теме «Производные» при подготовке к ЕГЭ.
Задачи:
1. Провести литературно-критический обзор по теме исследования;
2. Провести анализ учебников для старшей школы по теме «Производная»;
3. Подготовить учебные материалы, которые обеспечивали бы усвоение и закрепление знаний, необходимых для подготовки к ЕГЭ по разделу «Производная»;
4. Обобщить методические рекомендации по подготовке к единому государственному экзамену по теме «Производная».
Структура работы. Дипломная работа включает в себя введение, две главы, заключение, список использованной литературы (30 наименований), приложение.
В первой главе «Теоретические основы введения понятия «производная» в школьный курс математики» рассмотрены определение и свойства математического понятия «Производная» в современной трактовке. Также в этой главе проведен обзор источников по истории включения элементов высшей математики, в частности, элементов дифференциального исчисления, в школьный курс математики.
Во второй главе «Методический подход к использованию производной для исследования функций» проведен анализ учебников для старшей школы в части, касающейся темы, связанной с производной и ее применением для исследования функций. Также проанализированы возможности пособий и Интернет-ресурсов для дополнительного обучения.
Особое внимание во второй главе уделено вопросам подготовки учащихся к выполнению заданий, связанных с производной, на ЕГЭ по математике. На основе изучения работ учителей практиков и методистов предлагаются рекомендации по подготовке к ЕГЭ по заданиям на использование определения или свойства производной, а также на исследование функций средствами дифференциального исчисления.
В заключении представлены итоги исследования.
Математическое образование играет огромную роль в жизни нашего государства. Президент Российской Федерации в своем указе акцентирует внимание на том факте, что обучение в нашей стране должно быть надлежащего качества.
Значимость математики, как предмета необходимого для каждого человека, отразилось и в обязательности экзамена на итоговой аттестации за курс полной средней школы. На основании результатов этого экзамена вузы отбирают выпускников, которые в будущем будут использовать математические знания в профессиональной деятельности.
В ходе исследования были решены следующие задачи:
1. Проведен литературно-критический обзор по теме исследования.
2. Проведен анализ учебников для старшей школы по теме «Производная».
В результате изучения вопроса о введении производной в курс средней школы, выяснилось, что в начале XX века насчитывалось большое количество сторонников ввода высшей математики в среднюю школу. Они приводили достаточно убедительные аргументы, в связи с чем, были введены элементы математического анализа в программы некоторых типов средних учебных заведений России. Обзор особенностей этих программ представлен в работах О. А. Саввиной.
В середине ХХ века велись споры по поводу введения в школьную программу математического анализа. Были сторонники, которые утверждали, что введение в школьную программу математического анализа принесет свои плоды, были и те, кто не поддерживал эту идею. В дальнейшем, во время проведения реформы в семидесятые годы решено было повысить теоретический уровень в математическом образовании, и начала математического анализа заняли ведущую роль в обучении старшеклассников. Были устранены некоторые излишества, которые не соответствовали возрастным особенностям учащихся средней школы.
Методисты убедительно доказали, что элементы высшей математики в современной средней школе необходимы, кроме того, очень серьезно обсудили проблему введения понятий и фактов высшей математики в школьные программы.
Существовало более 6 различных подходов конструирования программы по введению высшей математики в среднюю школу: автономно-линейный; автономно-концентрический курс; линейный модуль в курсе «Алгебра и начала анализа»; концентрический модуль в курсе «Алгебра и начала анализа»; концентрический фузионизм с курсом «Алгебра и начала анализа»; линейный фузионизм и другие. Основные концепции используются до настоящего времени, а некоторые не вошли в программы, потому как были недостаточно разработаны.
Несмотря на противоречия и реформы в математическом образовании в начале 80-х гг., элементы высшей математики, уже изучаемые в средней школе, удается сохранить. Кроме того, в этот период созданы современные методики в изучении школьного курса математического анализа.
По сегодняшний день ведется работа по оптимизации объемов и конструкций элементов высшей математики в программе средней школы в условиях построения учебных планов старших классах.
3. Подготовлены учебные материалы для обеспечения усвоения и закрепления знаний, необходимых для подготовки к ЕГЭ.
С темой «Производная» связаны задания №7 и №12 из единого государственного экзамена по математике (профильный уровень). Задания из первой части ориентированы на знание обучающимися физического и геометрического смысла производной, владение графиками.
Решение заданий №12 (часть 2) профильного уровня ЕГЭ по математике предполагает рассмотрение следующих основных групп задач по темам, которые внесены в названия параграфов:
1) исследование функции на экстремумы;
2) исследование функции на возрастание (убывание);
3) исследование функции на наибольшие и наименьшие значения;
4) исследование функции с помощью графика ее производной.
Решенные типовые задания являются примерами для последующего выполнения заданий на ЕГЭ. Были вычислены производные степенных, иррациональных, тригонометрических, логарифмических функций, а так же производные произведения и частного сложных функций. В приложении представлены задания для самостоятельного решения.
4. Обобщены методические рекомендации по подготовке к единому государственному экзамену по теме «Производная».
Подготовка к выполнению задания №7 из первой части предполагает выполнения ряда требований:
1) отработка понятия «Производная», её геометрического смысла;
2) понимание физического смысла производной, оценка скорости процесса, заданного формулой;
3) умение «читать» графики функций;
4) понимание понятия касательной к графику функции.
Успешное решение задания №12 требует уверенного владения навыками нахождения производных и решения неравенств. Рассмотрение задач на нахождение промежутков возрастания (убывания) предполагает определение промежутков знакопостоянства производной. При выполнении заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, необходимо найти ее значения не только в точках экстремума, принадлежащих данному отрезку, но и значения на концах этого отрезка. Из всех выбрать наибольшее (наименьшее) значение, оно и будет наибольшим (наименьшим) значением функции на данном отрезке.
Данная работа может быть использована как вспомогательное пособие для учителей школ при организации и проведении занятий, а также представляет интерес для школьников старших классов.
Значимость математики, как предмета необходимого для каждого человека, отразилось и в обязательности экзамена на итоговой аттестации за курс полной средней школы. На основании результатов этого экзамена вузы отбирают выпускников, которые в будущем будут использовать математические знания в профессиональной деятельности.
В ходе исследования были решены следующие задачи:
1. Проведен литературно-критический обзор по теме исследования.
2. Проведен анализ учебников для старшей школы по теме «Производная».
В результате изучения вопроса о введении производной в курс средней школы, выяснилось, что в начале XX века насчитывалось большое количество сторонников ввода высшей математики в среднюю школу. Они приводили достаточно убедительные аргументы, в связи с чем, были введены элементы математического анализа в программы некоторых типов средних учебных заведений России. Обзор особенностей этих программ представлен в работах О. А. Саввиной.
В середине ХХ века велись споры по поводу введения в школьную программу математического анализа. Были сторонники, которые утверждали, что введение в школьную программу математического анализа принесет свои плоды, были и те, кто не поддерживал эту идею. В дальнейшем, во время проведения реформы в семидесятые годы решено было повысить теоретический уровень в математическом образовании, и начала математического анализа заняли ведущую роль в обучении старшеклассников. Были устранены некоторые излишества, которые не соответствовали возрастным особенностям учащихся средней школы.
Методисты убедительно доказали, что элементы высшей математики в современной средней школе необходимы, кроме того, очень серьезно обсудили проблему введения понятий и фактов высшей математики в школьные программы.
Существовало более 6 различных подходов конструирования программы по введению высшей математики в среднюю школу: автономно-линейный; автономно-концентрический курс; линейный модуль в курсе «Алгебра и начала анализа»; концентрический модуль в курсе «Алгебра и начала анализа»; концентрический фузионизм с курсом «Алгебра и начала анализа»; линейный фузионизм и другие. Основные концепции используются до настоящего времени, а некоторые не вошли в программы, потому как были недостаточно разработаны.
Несмотря на противоречия и реформы в математическом образовании в начале 80-х гг., элементы высшей математики, уже изучаемые в средней школе, удается сохранить. Кроме того, в этот период созданы современные методики в изучении школьного курса математического анализа.
По сегодняшний день ведется работа по оптимизации объемов и конструкций элементов высшей математики в программе средней школы в условиях построения учебных планов старших классах.
3. Подготовлены учебные материалы для обеспечения усвоения и закрепления знаний, необходимых для подготовки к ЕГЭ.
С темой «Производная» связаны задания №7 и №12 из единого государственного экзамена по математике (профильный уровень). Задания из первой части ориентированы на знание обучающимися физического и геометрического смысла производной, владение графиками.
Решение заданий №12 (часть 2) профильного уровня ЕГЭ по математике предполагает рассмотрение следующих основных групп задач по темам, которые внесены в названия параграфов:
1) исследование функции на экстремумы;
2) исследование функции на возрастание (убывание);
3) исследование функции на наибольшие и наименьшие значения;
4) исследование функции с помощью графика ее производной.
Решенные типовые задания являются примерами для последующего выполнения заданий на ЕГЭ. Были вычислены производные степенных, иррациональных, тригонометрических, логарифмических функций, а так же производные произведения и частного сложных функций. В приложении представлены задания для самостоятельного решения.
4. Обобщены методические рекомендации по подготовке к единому государственному экзамену по теме «Производная».
Подготовка к выполнению задания №7 из первой части предполагает выполнения ряда требований:
1) отработка понятия «Производная», её геометрического смысла;
2) понимание физического смысла производной, оценка скорости процесса, заданного формулой;
3) умение «читать» графики функций;
4) понимание понятия касательной к графику функции.
Успешное решение задания №12 требует уверенного владения навыками нахождения производных и решения неравенств. Рассмотрение задач на нахождение промежутков возрастания (убывания) предполагает определение промежутков знакопостоянства производной. При выполнении заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, необходимо найти ее значения не только в точках экстремума, принадлежащих данному отрезку, но и значения на концах этого отрезка. Из всех выбрать наибольшее (наименьшее) значение, оно и будет наибольшим (наименьшим) значением функции на данном отрезке.
Данная работа может быть использована как вспомогательное пособие для учителей школ при организации и проведении занятий, а также представляет интерес для школьников старших классов.
Подобные работы
- ЗАДАЧИ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Дипломные работы, ВКР, математика. Язык работы: Русский. Цена: 4790 р. Год сдачи: 2018 - Информационные технологии как средство развития познавательного интереса обучающихся к изучению математики в общеобразовательной школе
Магистерская диссертация, педагогика. Язык работы: Русский. Цена: 4945 р. Год сдачи: 2021 - МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ В УГЛУБЛЕННОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ
Магистерская диссертация, педагогика. Язык работы: Русский. Цена: 4995 р. Год сдачи: 2019 - ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Дипломные работы, ВКР, педагогика. Язык работы: Русский. Цена: 4355 р. Год сдачи: 2021 - ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Дипломные работы, ВКР, математика. Язык работы: Русский. Цена: 4780 р. Год сдачи: 2017 - Подготовка школьников к решению заданий школьного курса математики методами функционального анализа
Дипломные работы, ВКР, математика. Язык работы: Русский. Цена: 4600 р. Год сдачи: 2016 - ПЕРВООБРАЗНАЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Дипломные работы, ВКР, математика. Язык работы: Русский. Цена: 6100 р. Год сдачи: 2017 - ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИСТОРИЧЕСКИХ СВЕДЕНИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ
ТЕМЫ «ПРОИЗВОДНАЯ» В КУРСАХ МАТЕМАТИКИ 10-11
КЛАССОВ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ
Дипломные работы, ВКР, математика. Язык работы: Русский. Цена: 4900 р. Год сдачи: 2018 - ПЕРВООБРАЗНАЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Дипломные работы, ВКР, педагогика. Язык работы: Русский. Цена: 4320 р. Год сдачи: 2017 - Методика обучения решению экономических задач в углубленном курсе математики общеобразовательной школы
Магистерская диссертация, педагогика. Язык работы: Русский. Цена: 4850 р. Год сдачи: 2021