Тема: Построение кольца Z[ v*3] и его евклидовость

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они повсюду. Все системы счисления используются всегда, когда требуется что-то рассчитать, начиная с вычислений учениками младших классов, выполняемых карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на электронных устройствах. С открытием цифр на них появились операции, затем возникла необходимость расширения операций над нулевыми, отрицательными числами и новыми числами. В результате появилась потребность в системе целых чисел, с которыми можно выполнять математические действия: сложение и умножение. Дальнейшее развитие математики связано с рациональными, иррациональными и вещественными числами. В более позднее время открываются и другие числа, полученные путем присоединения к кольцу целых чисел квадратичных иррациональностей. Эти кольца называются квадратичными. Новые числа по своим свойствам в некотором смысле напоминали обычные целые числа, но имели ряд необычных свойств, теорем и результатов.
В данной выпускной квалификационной работе проводится исследование свойства чисел действительных квадратичных колец.
Объект исследования: теория колец и областей целостности.
Предметом исследования настоящей работы являются квадратичные кольца.
Цель исследования - изучение свойств квадратичных колец Z[V3] и применения полученных результатов в курсе алгебре и теории чисел.
Задачи исследования:
- Определить понятие «квадратичное кольцо»;
- Изучить свойства данных колец;
- Разработать алгоритм деления с остатком в рассматриваемом кольце;
- Подобрать задачи, упражнения и образцы решения этих задач ;
- Разработать рабочую программу факультативного курса на данную
тему и привести примеры факультативных занятий.
В школьном курсе математики квадратичные кольца не рассматриваются, поэтому практическая значимость результатов работы может быть применена на факультативных занятиях в школе.

Купить

В ходе исследования выпускной квалификационной работы мы получили следующие результаты: определили понятие «квадратичное кольцо»,
разработали алгоритм деления с остатком в кольце ^[V3], подобрали задачи и упражнения для решения в этом кольце, разработали рабочую программу факультативного «Основные элементы квадратичного кольца Z[V3]» и привели примеры занятий, изучили свойства квадратичного кольца.
Отметим эти свойства.
1. Кольцо, рассматриваемое в данной выпускной квалификационной работе, а именно квадратичное кольцо %[V3] является областью целостности.
2. В этом кольце можно ввести отношение делимости, свойства которого такие же, как и свойства отношения делимости в кольце Z целых чисел.
3. В кольце 2[V3] можно выделить группу обратимых элементов.
Отметим основные свойства этого кольца:
а) Группа обратимых элементов кольца %[V3] бесконечна.
б) Всякий обратимый элемент £ в кольце Z[V3] имеет вид: £ = +V3, где п - произвольное целое число. Обратимый элемент 2 + V3 называется главным обратимым элементом.
в) Кольцо Z[V3] является евклидовым.
В целом, данную работу можно рассматривать как дополнение к курсу алгебры и теории чисел. Изучение данного материала не входит в учебную программу по алгебре, поэтому актуальность изучения квадратичных колец обуславливается преемственностью при изучении этой темы в высших учебных заведениях. Многие вопросы, рассмотренные в работе доступны учащимся 10-11 классов, соответственно данный материал вполне можно использовать на факультативных занятиях.

Купить