Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Метод RKC 2-го порядка для решения ОДУ 9
1.1 Формулировка метода 9
1.2 Устойчивость 10
Глава 2. Метод RKC 2-го порядка для ДУЗА 13
2.1 Линейная интерполяция 14
2.2 Интерполяция второго порядка 14
Глава 3. Устойчивость методов RKC 2-го порядка для ДУЗА 16
3.1 Устойчивость решений тестового уравнения 16
3.2 Анализ численной устойчивости 16
3.3 Линейная интерполяция 18
3.4 Интерполяция 2-го порядка 20
Глава 4. Проверка областей устойчивости 22
Глава 5. Применение метода RKC 2-го порядка 26
5.1 Модель «хищник — жертва» 26
5.2 Уравнение в частных производных 29
Выводы 32
Заключение 34
Список литературы 35
В последнее время дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (ДУЗА) всё чаще встречаются во многих научных областях: медицине, экологии, биологии [14]. Также данный вид уравнений нашёл применение и в задачах физики, теории колебаний, ракетной технике, автоматики. Нередко встречаются в экономике, химии и инженерии [15, 16]. Такое разнообразие приложений привело к развитии теории ДУЗА, в частности к анализу устойчивости.
Для явного интегрирования жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), возникающих в результате пространственной дискретизации параболических уравнений в частных производных, существует метод, по аналитической форме функций устойчивости которого называют методом Рунге — Кутты — Чебышёва (RKC).
Однако применение методов Рунге — Кутты — Чебышёва к дифференциальным уравнениям с запаздыванием ещё мало исследовано. Поэтому в данной работе будет проведён анализ P-устойчивости расширения методов Рунге — Кутты — Чебышёва второго порядка [1] для ДУЗА, а также показан пример работы с данными методами. Для реальных систем с помощью рассматриваемых методов будет получено устойчивое численное решение.
Так как подробный анализ устойчивости метода Рунге —Кутты — Чебышёва был приведён в выпускной квалификационной работе бакалавра [6], основной задачей данного исследования будет являться изучение метода второго порядка. В первой главе приводятся формулировка и анализ устойчивости метода Рунге — Кутты — Чебышёва для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. После этого во второй главе рассматриваются несколько расширений для решения уравнений с запаздыванием: с помощью линейной интерполяции и интерполяции второго порядка. В силу своей обширности анализ устойчивости рассматриваемых методов для решения ДУЗА был выделен в третью главу. В четвёртой главе полученные области устойчивости проверяются с помощью программы, написанной на языке программирования MATLAB. Наконец в пятой главе показывается пример работы с методами Рунге —Кутты —Чебышёва, получение численных решений систем дифференциальных систем прикладного характера.
Таким образом, итогом данной работы будет являться не только теоретическое исследование областей устойчивости, но и программа, с помощью которой можно будет получать численные решения и для других систем.
Так как целью данной работы было не только проведение теоретического исследование по поиску областей устойчивости изучаемых методов, но и создание эффективной программы для решения систем разного типа (ОДУ И ДУЗА) с помощью методов Рунге — Кутты — Чебышёва, были получены результаты и прикладного характера, продемонстрирован пример работы с реальными системами, для которых необходимо найти численное решение.
Был приведён вариант проведения анализа устойчивости для численных методов, использующихся для нахождения дифференциальных уравнений с запаздываниями. В дальнейшем подобный подход может быть использован и для других методов. Так данный алгоритм был применён для нахождения областей устойчивости методов Рунге — Кутты — Чебышёва и первого, и второго порядков.
