Тема: Графы преобразований узлов

Основной целью данной работы является исследование преобразований классических зацеплений с помощью анализа так называемых Гордиевых графов1этих преобразований. Гордиевым графом преобразования 5 на множестве зацеплений Mназывается граф, вершинами которого являются зацепления из множества M и две вершины соединены ребром, если одно из соответствующих этим вершинам зацеплений получается из другого с помощью 5. Этот метод даёт новый взгляд на свойства и структуру преобразования, позволяя формулировать задачи о преобразованиях в альтернативных, нередко более удобных для исследования терминах. Так, например, задачи, связанные с лернейскими узлами [27], формулируются в терминах Гордиева графа вложенных перестроек. Гордиевы графы и сопутствующие им конструкции представляют интерес не только в качестве инструмента переформулировки задач теории узлов. В последнее время активно развиваются методы исследования кратчайших в Гордиевых графах [13, 15, 20, 30, 42], изучаются Гордиевы комплексы (стандартное пополнение Гордиева графа до симплициального комплекса) [8, 35, 36, 44, 43], в недавней работе [12] исследуется гиперболичность Гордиевых графов некоторых локальных преобразований.
В настоящей работе изучаются локальные и глобальные свойства Гордиевых графов различных преобразований: получены результаты о связности некоторых подграфов H(2)-Гордиева графа на множестве всех узлов
и устройстве множества смежных вершин произвольной вершины H(2)- Гордиева графа на множестве всех зацеплений, описана асимптотическая структура на бесконечности для H(2)-Гордиева графа на множестве всех узлов и для (#)-Гордиева графа на множестве всех ориентированных узлов, получено описание Гордиева графа торических вложенных перестроек на множестве торических узлов, введён новый класс локальных преобразований, названных ©(^-преобразованиями, и исследованы его свойства, введён новый тип преобразований и определено ©(^-преобразование, являющееся естественным обобщением ©(п)-преобразований, доказано, что диаметр ©(1)-Гордиева графа равен единице.
Перейдём к более подробному описанию содержания и результатов работы по параграфам.
В параграфе 2 приведены используемые определения и обозначения. В первом разделе этого параграфа даны определения некоторых стандартных объектов теории узлов. Второй, третий и четвёртый разделы параграфа 2 посвящены конструкциям, относящимся к локальным и ориентированным локальным преобразованиям. Основные преобразования, изучаемые в настоящей работе, определены в терминах тэнглов. Во втором разделе параграфа 2 подробно обсуждается понятие Гордиева графа преобразования и сопутствующие конструкции. Пятый раздел параграфа 2 содержит различные вспомогательные определения и обозначения.
Параграф 3 посвящён H(2)-преобразованиям, также называемым вложенными перестройками. Одними из основополагающих работ в теории вложенных перестроек считаются, в первую очередь, работы [24] и [9] (в [9] вложенная перестройка рассматривается как частный случай H(n)- преобразования при n = 2). Различные свойства вложенных перестроек и сопутствующие конструкции активно изучаются в последнее десятилетие. Так, в работах [14, 16, 17, 19] изучается связь вложенных перестроек с полиномиальными инвариантами, в [5, 13, 15, 20, 41] изучается метрика вложенных перестроек, в [1, 2, 3, 4, 18, 29] — инвариант расстояния (в метрике вложенных перестроек) до тривиального узла, в [25, 31] — связь вложенных перестроек с линзовыми пространствами, вложенные перестройки расслоенных узлов изучаются в [6], косметические перестройки — в [10], графы и комплексы, ассоциированные с вложенными перестройками — в [12, 43, 44], а приложения в биологии — в [11] и [32]. В параграфе 3 получены следующие результаты: связность и бесконечный диаметр графа Г^ — Гордиева графа вложенных перестроек на множестве всех узлов, а также связность различного рода подграфов этого графа (теоремы 1 и 5), существование бруннова зацепления в множестве смежных вершин произвольной вершины Гордиева графа вложенных перестроек на множестве всех зацеплений и существование бесконечного набора обмоток заданного узла в множестве смежных вершин для этого узла в том же графе (теоремы 3 и 4). Также описана асимптотическая структура графа Г^ на бесконечности, а именно, доказано, что среди компонент связности дополнения шара в графе Г/.- только одна имеет бесконечный диаметр (теорема 2). Результаты теорем 4 и 5 были включены в работу «Лернейские узлы и вложенные перестройки» (Ю.С. Белоусов, М.В. Карев, А. В. Малютин, А.Ю. Миллер, Е.А. Фоминых).
В параграфе 4 изучается граф Гю — Гордиев граф торических вложенных перестроек на множестве торических узлов (вложенная перестройка торического узла, расположенного на крае незаузленного полнотория, называется торической, если лента, вдоль которой производится перестройка, лежит на том же торе, что и сам узел). Получено описание этого графа, опирающееся на подробно изложенную в [7, 28] связь флип-преобразований тэта-кривых на торе и триангуляции Фарея гиперболической плоскости.
Параграф 5 посвящён исследованию Гордиева графа (^-преобразований на множестве всех ориентированных узлов, а именно — его асимптотической структуры на бесконечности. Доказано, что среди компонент связности дополнения шара в этом графе существует не более двух компонент с бесконечным диаметром (теорема 7). (#)-Преобразования исследовались в работах [33, 34].
Параграф 6 состоит из двух частей. В первой части приведены некоторые свойства введённых в настоящей работе О(п)-преобразований, а во второй — описан новый тип преобразований узлов — тор-преобразования. Идея тор-преобразования является обобщением идеи локального преобразования и заключается в замене одного тортэнгла, образованного узлом, на другой (тор-тэнглом, по аналогии с тэнглом, называется незаузленный полноторий, содержащий дуги, концы которых лежат на крае этого полнотория). Определено тор-преобразование, являющееся естественным обобщением О(п)-преобразований — 0(1)-преобразование. Описан Гордиев граф, соответствующий О(1)-преобразованиям на множестве всех узлов, а именно доказано, что его диаметр равен единице.

Купить