Тема: Анализ устойчивости решений сложных систем с запаздыванием

Системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом широко используются для моделирования различных явлений и процессов. При этом методы анализа устойчивости нелинейных дифференциально-разностных систем в настоящее время развиты недостаточно. Как правило, для анализа таких систем применяется теорема об устойчивости по линейному приближению, однако это возможно далеко не всегда.
Для нелинейных систем с запаздыванием известна теорема Красовского об асимптотической устойчивости нулевого решения [1]. Согласно этой теореме, для доказательства асимптотической устойчивости достаточно построить функционал Ляпунова - Красовского, допускающий положительноопределенные оценки снизу и сверху и имеющий отрицательно-определенную производную вдоль решений системы. На построение таких функционалов для некоторых классов сложных систем с запаздыванием направлена данная работа.
В работе исследуются сложные дифференциально-разностные системы, описывающие взаимодействие двух подсистем. Среди таких классов подсистем рассмотрены линейные стационарные системы с постоянным запаздыванием и однородные стационарные системы с порядками однородности правых частей, большими единицы. Предполагается, что функции, описывающие взаимодействие между подсистемами, имеют перекрестный характер, т.е. каждая из них зависит только от состояния другой подсистемы.
Отметим, что некоторые из рассматриваемых классов систем ранее исследовались в работах А. Ю. Александрова и А. П. Жабко [2, 3, 14], в которых для систем этих классов получены условия асимптотической устойчивости нулевого решения с помощью функций Ляпунова и метода Разумихина.
Работа имеет следующую структуру. Глава 1 содержит предварительные сведения, касающиеся однородных систем с порядками однородности правых частей, строго большими единицы, (и. 1.1) и линейных стационарных систем (и. 1.2). В частности, в нем представлены конструкции функционалов Ляпунова - Красовского, известные из литературах для таких систем. Для случая однородных систем без запаздывания в и. 1.2 приведены свойства функций Ляпунова, являющихся базовым элементом конструкции функционалов Ляпунова - Красовского для однородных систем с запаздыванием. В главе 2 рассматриваются сложные системы с запаздыванием, описывающие взаимодействие двух однородных подсистем с порядками однородности правых частей, строго большими единицы. Для этого класса систем в и. 2.1 построены функционалах Ляпунова - Красовского, в и. 2.2 доказаны леммы об оценках функционалов, а в и. 2.3 функционалы применяются к построению оценок решений. Доказанные леммы показывают, что в случае асимптотической устойчивости соответствующих систем без запаздывания построенные функционалы удовлетворяют условиям теоремы Красовского. Аналогичные результаты для сложных дифференциально-разностных систем, описывающих взаимодействие линейной стационарной подсистемы и однородной подсистемы с порядком однородности правой части, большим единицы, представлены вп.3.1,3.2и3.4.Вп.З.З построенные функционалы Ляпунова - Красовского применяются к доказательству теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения для последнего класса систем.
Купить

В данной работе построены функционалы Ляпунова-Красовского для двух систем с запаздыванием и с помощью построенных функционалов получены оценки решений. Притом, для второго класса сформулирована теорема об асимптотической устойчивости нулевого решения. Направлениями дальнейших исследований могут быть::
1. обобщение полученных результатов на произвольное количество взаимо-действующих подсистем,
2. ослабление условий на параметрах а1 и а2 и, в частности, условия а 2 >^+1
2 •

Купить