1 Введение 1
2 Постановка задачи и основные результаты 2
3 Вспомогательные результаты 5
4 Слабая производная решения по времени 7
5 Невозрастание Ь^-нормы слабого решения по времени 9
6 Теорема единственности в классе слабых решений и принцип максимума 13
7 Существование 13
8 Теоремы аппроксимации 16
Список литературы 22
В данной работе мы изучаем слабые решения параболического уравнения в частных производных с дрифтом, где под дрифтом подразумевается «скорость сноса» (то есть коэффициент при первых частных производных по пространственным переменным). Особенный интерес к изучению таких уравнений возникает в гидродинамике, где в качестве дрифта выступает само поле скоростей жидкости. Исторический обзор, а также всеобъемлющее изложение классических результатов, касающихся однозначной разрешимости тех или иных задач в энергетическом классе, содержится в монографии [7]. Большинство этих результатов получено в предположении о достаточной «гладкости» дрифта, например, его существенной ограниченности (в нашей работе существенно ограниченный дрифт будет называться регулярным). При ослаблении условия регулярности дрифта теряется информация о слабой производной по времени решения, а также теряется классическое энергетическое тождество, возникает вопрос о единственности решений из энергетического класса. Поэтому в случае сингулярного (то есть нерегулярного) дрифта Теорема единственности начинает играть ключевую роль.
Благодаря разложению Гельмгольца для любого дрифта мы можем выделить его соленоидальную и потенциальную части. Изучению свойств слабых решений для уравнений с соленоидальным дрифтом посвящены работы [1], [8], [11], [12], [13], [15] (см. также [2], [5]). В случае потенциального дрифта часто дополнительно предполагают неположительность дивергенции в обобщённом смысле, в таком случае билинейная форма, соответствующая конвективному члену, обеспечивает неотрицательную добавку к квадратичной форме оператора, результаты о слабых решениях при условии дрифта с неположительной дивергенцией можно найти в [9] (см. также [3]).
В нашей работе внимание также сконцентрировано на дрифте, обладающем неположительной дивергенцией. При этом формальной целью для нас является получение существования и единственности слабого решения, что позволяет говорить о цельной теории. Своего рода побочным (но от этого не менее интересным) результатом в нашей работе оказывается существенная ограниченность слабого решения при существенно ограниченном начальном данном. Отличие нашей работы во многом состоит в подходе к задаче: ключевым местом, на наш взгляд, является невозрастание L 1-нормы слабого решения по времени.
