1 Введение 1
2 Постановка задачи и основные результаты 2
3 Вспомогательные результаты 5
4 Слабая производная решения по времени 7
5 Невозрастание Ь^-нормы слабого решения по времени 9
6 Теорема единственности в классе слабых решений и принцип максимума 13
7 Существование 13
8 Теоремы аппроксимации 16
Список литературы 22
В данной работе мы изучаем слабые решения параболического уравнения в частных производных с дрифтом, где под дрифтом подразумевается «скорость сноса» (то есть коэффициент при первых частных производных по пространственным переменным). Особенный интерес к изучению таких уравнений возникает в гидродинамике, где в качестве дрифта выступает само поле скоростей жидкости. Исторический обзор, а также всеобъемлющее изложение классических результатов, касающихся однозначной разрешимости тех или иных задач в энергетическом классе, содержится в монографии [7]. Большинство этих результатов получено в предположении о достаточной «гладкости» дрифта, например, его существенной ограниченности (в нашей работе существенно ограниченный дрифт будет называться регулярным). При ослаблении условия регулярности дрифта теряется информация о слабой производной по времени решения, а также теряется классическое энергетическое тождество, возникает вопрос о единственности решений из энергетического класса. Поэтому в случае сингулярного (то есть нерегулярного) дрифта Теорема единственности начинает играть ключевую роль.
Благодаря разложению Гельмгольца для любого дрифта мы можем выделить его соленоидальную и потенциальную части. Изучению свойств слабых решений для уравнений с соленоидальным дрифтом посвящены работы [1], [8], [11], [12], [13], [15] (см. также [2], [5]). В случае потенциального дрифта часто дополнительно предполагают неположительность дивергенции в обобщённом смысле, в таком случае билинейная форма, соответствующая конвективному члену, обеспечивает неотрицательную добавку к квадратичной форме оператора, результаты о слабых решениях при условии дрифта с неположительной дивергенцией можно найти в [9] (см. также [3]).
В нашей работе внимание также сконцентрировано на дрифте, обладающем неположительной дивергенцией. При этом формальной целью для нас является получение существования и единственности слабого решения, что позволяет говорить о цельной теории. Своего рода побочным (но от этого не менее интересным) результатом в нашей работе оказывается существенная ограниченность слабого решения при существенно ограниченном начальном данном. Отличие нашей работы во многом состоит в подходе к задаче: ключевым местом, на наш взгляд, является невозрастание L 1-нормы слабого решения по времени.
[1] D. Albritton, H. Dong, Regularity properties of passive scalars with rough divergence- free drifts, https://arxiv.org/abs/2107.12511, 2021.
[2] M. Chernobai, T. Shilkin, Scalar elliptic equations with a singular drift, https://arxiv.org/abs/1911.00401v2, 2022.
[3] M. Chernobai, T. Shilkin, Elliptic equations with a singular drift from a weak Morrey space, https://arxiv.org/abs/2208.10909v3, 2022.
[4] L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998.
[5] N. Filonov, T. Shilkin, On some properties of weak solutions to elliptic equations with divergence-free drifts, Mathematical analysis in fluid mechanics-selected recent results, pp. 105-120, Contemp. Math., 710, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018.
[6] О.А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, 1973.
[7] О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, 1967.
[8] V. Liskevich, Q. S. Zhang, Extra regularity for parabolic equations with drift terms, Manuscripta Math. 113, no. 2, pp. 191-209, 2004.
[9] А. И. Назаров, Н. Н. Уральцева, Неравенство Гарнака и связанные с ним свойства решений эллиптических и параболических уравнений с бездивергентными младшими коэффициентами, Алгебра и анализ 23, no 1, 2011
[10] A. Porretta, Existence results for nonlinear parabolic equations via strong convergence of truncations, Ann. Mat. Pura Appl. 177, no. 1, pp. 143-172, 1999.
[11] Y. A. Semenov, Regularity theorems for parabolic equations, J. Funct. Anal. 231, no. 2, pp 375-417, 2006.
[12] G. Seregin, L. Silvestre, V. Sverak, A. Zlatos, On divergence-free drifts, J. Differential Equations 252, no. 1, pp. 505-540, 2012.
[13] L. Silvestre, V. Vicol, Holder continuity for a drift-diffusion equation with pressure, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire 29, no. 4, pp. 637-652, 2012.
[14] Р. Темам, Уравнение Навье-Стокса, Мир, 1981.
[15] Q.S. Zhang, A strong regularity result for parabolic equations, Commun. Math. Phys. 244, no. 2, pp. 245—260, 2004.