Введение 3
Обозначения 4
Постановка задачи 6
Обзор литературы 7
Глава 1. Предварительные сведения 11
1.1. Существование и единственность решения 13
1.2. Функционал v0 15
1.3. Оценки неустойчивого собственного числа 23
1.4. Непрерывность матрицы Ляпунова по параметрам 32
1.5. Непрерывность нулей аналитической функции 36
Глава 2. Основной результат 39
Глава 3. Задача о робастной устойчивости 43
3.1. Применение теоремы 10 47
3.2. Применение теоремы 11 48
3.3. Итоговый результат 50
3.4. Итерационная схема 50
3.5. Непрерывное условие робастной устойчивости 55
Выводы 58
Заключение 59
Список литературы 60
В настоящей работе рассматривается задача проверки устойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа, а также задача робастной устойчивости. Класс линейных систем с запаздыванием исключительно важен для приложений, поскольку во многих нелинейных задачах об устойчивости системы можно судить по ее линейному приближению. Этот класс наиболее хорошо изучен, известны критерии устойчивости линейных систем. Однако и здесь имеются фундаментальные нерешенные проблемы.
Традиционно для анализа устойчивости линейных систем с запаздыванием применяются первый и второй методы Ляпунова. Первый метод основан на анализе собственных чисел системы. Спектральные методы анализа устойчивости хорошо развиты в настоящее время. Тем не менее, возникающие здесь сложности объясняются бесконечностью спектра систем с запаздыванием. При исследовании систем больших размерностей возрастают вычислительные затраты и накапливаются погрешности, а в нестационарном случае такой подход и вовсе не применим. Второй метод Ляпунова для дифференциально-разностных систем известен как метод функционалов Ляпунова-Красовского. Развитию этого метода посвящена настоящая работа.
Дальнейшими направлениями исследований являются обоснование итерационного метода для более широкого класса систем, применение основного результата совместно с методом дискретизации функционалов Ляпунова-Красовского [3]-[5], улучшение оценки робастной устойчивости с использованием метода линейных матричных неравенств. Кроме того, интерес представляет обобщение полученных результатов на случай систем с комплексными матрицами, систем нейтрального типа, систем с правой частью в виде интеграла Стилтьеса и нелинейных систем общего вида. Начальные результаты для систем нейтрального типа можно найти в [33, 34], для нелинейных систем - в [35].
