Обозначения и сокращения 3
Введение 4
Постановка задачи 6
Обзор литературы 8
Глава 1. Системы линейных уравнений с запаздыванием 11
Глава 2. Критерий экспоненциальной устойчивости линейной системы с запаздыванием 13
Глава 3. Конструктивный критерий экспоненциальной устойчивости линейной системы с запаздыванием 16
3.1. Сведение квадратичного функционала к квадратичной формы 16
3.2. Предварительные оценки функционала 17
3.3. Построение конечной сетки, необходимой и достаточной для проверки экспоненциальной устойчивости системы 18
3.4. Алгоритм 26
3.5. Корректность алгоритма 26
3.6. Конечность алгоритма 27
Глава 4. Применение критерия для исследования устойчивости систем с запаздыванием 31
4.1. Алгоритм проверки необходимого условия критерия 31
4.2. Иллюстративные примеры 32
4.3. Сравнение конечных алгоритмов проверки критерия 37
Выводы 39
Заключение 40
Список литературы 40
В данной работе предложен критерий устойчивости линейных дифференциальных систем с произвольным числом запаздываний, основанный на методе функционалов Ляпунова-Красовского и так называемых матрицах Ляпунова.
С помощью дифференциальных систем с запаздыванием описываются многочисленные процессы, происходящие в физике, химии, биологии и других науках. Благодаря изучению таких систем можно более детально проанализировать и предсказать поведение этих процессов в будущем. В качестве примера таких процессов можно привести изменение температуры воды в душе в зависимости от поворота крана, происходящее не сразу, а с некоторым запаздыванием, поскольку воде с новой температурой требуется преодолеть расстояние от крана до конца душевой лейки. Еще один пример из биологии: одним из первых уравнений, описывающих численность популяции, было уравнение Мальтуса x(t) = ax(t), в котором скорость прироста популяции пропорциональна числу всех особей, живущих в данный момент. Однако, строго говоря, численность популяции зависит не от всех особей, а только от взрослых, способных размножаться. Но каждая такая взрослая особь была рождена, скажем, h лет назад, так что численность популяции в настоящее время зависит от числа особей, родившихся h лет назад, т. е. описывается уравнением x(t) = ax(t — h).
Одной из важнейших характеристик решений дифференциальных уравнений является устойчивость. Грубо говоря, если решение устойчиво, то другие решения, немного отличающиеся от него в начальный момент времени, будут оставаться вблизи него при любых значениях времени. Если решение неустойчиво, то слабо отклоняющиеся от него решения в начальный момент в конце могут отклоняться довольно сильно. Примером использования устойчивости решений может служить пример В. И. Арнольда [1, с. 24-26]: рыбы в пруду или озере, которых люди решили постоянно вылавливать в одном и том же количестве, при этом желая максимизировать количество добываемых рыб, но так, чтобы все рыбы не исчезли. Такая модель отлова возможна и имеет постоянное решение, приводящее к равновесию в численности рыб, но это решение неустойчивое, что может привести к тому, что небольшое превышение нормы по отлову рыб приведет к гибели всей популяции. Однако, если использовать вторую модель отлова, согласно которой в каждый момент времени вылавливается количество рыб, пропорциональное текущему количеству, мы придем к положению равновесия, которое будет устойчивым. Поэтому небольшое превышение по количеству отлавливаемых рыб не приведет к исчезновению целой популяции, а лишь немного снизит ее общую численность, причем количество вылавливаемых рыб в положении равновесия будет точно таким же, как и в случае с первой моделью.
Таким образом, действительно очень важным на практике, например, в биологии или в физике, является исследование того, является ли решение системы устойчивым.
Устойчивость линейных систем с запаздыванием, как и в случае линейных систем без запаздывания, можно исследовать с помощью нахождения собственных чисел систем, однако в случае с запаздыванием этот подход несколько теряет свое преимущество, поскольку собственных чисел становится бесконечно много.
Одним из подходов, используемых для исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием, является построение матрицы Ляпунова и изучение положительной определенности квадратичного функционала с заданной отрицательно-определенной производной вдоль решений системы, построенного с помощью этой матрицы [13].
Эти функционалы можно использовать не только для анализа устойчивости системы, но и для оценки робастной устойчивости, построения экспоненциальных оценок решений системы, построения стабилизирующего управления и в других задачах [13].
Одной из основных проблем описанного подхода является конструктивная проверка положительной определенности квадратичных функционалов. Данная работа направлена на решение этой проблемы.
В данной работе получен критерий экспоненциальной устойчивости линейных дифференциальных систем с произвольным числом запаздываний, позволяющий сводить проверку устойчивости системы к проверке выполнения условия Ляпунова и решению задачи глобальной оптимизации, где целевая функция и ограничения являются квадратичными функциями.
