Тема: Надгруппы некоторых подсистемных подгрупп в группах Шевалле над кольцами

В настоящей работе мы изучаем надгруппы подсистемных подгрупп в исключитель­ных группах. Принципиальным отличием от всех предшествующих работ является то, что для извлечения элементарных корневых элементов мы используем подсисте­му типа 2Щ. Во всех предшествующих работах эту роль выполняли неприводимые подсистемы ранга не меньше 2.
Чтобы поместить результаты настоящей работы в контекст, напомним основные имеющиеся на данный момент результаты.
• В работах [4], [1], [2], [3], [6], [14] изучаются надгруппы (элементарных) под­системных подгрупп в полной линейной группе. В этом случае подсистемные подгруппы — это группы блочно-диагональных матриц.
• В работе [7] эти результаты были обобщены на случай ортогональных и сим- плектических групп в предположении 2 G R*. Затем в диссертации Александра Щеголева [24] это предположение было снято, а также решена задача для уни­тарных групп (см. также [18] и [19]).
• Случай полной линейной группы допускает некоторые обобщения на неком­мутативные (но удовлетворяющие какому-то другому условию) кольца. Этому посвящены работы [13], [16] и [9].
• Задача описания надгрупп подсистемных подгрупп в исключительных груп­пах (над коммутативным кольцом) была поставлена в работе [10] (проблема 7). Первым шагом в решении этой задачи служит работа [11], в которой перечис­лены пары (Ф, Д), для которых стандартное описание гипотетически возмож­но, а также для каждой из них найдены количество идеалов, определяющих уровень, и соотношения между ними.
• В работе [12] мною было получено единообразное решение данной задачи для подсистем Ai-1 6 Di, D5 6 Е6 и Е6 6 Е7. Это в точности случаи, в кото­рых подсистемная подгруппа является подгруппой Леви, и соответствующий унипотентный радикал абелев.
• Отметим также, что результат работы [15] описывающий надгруппы F4 в Е6 хоть и не является частным случаем нашей задачи, но тесно с ней связан.
Напомним, как обычно выглядит ответ в задачах, похожих на нашу.
Пусть L — решетка подгрупп абстрактной группы G, обладающих некоторым свой­ством. Говорят, что L удовлетворяет sandwich classification, если она разбивается в дизъюнктное объединение ’’сэндвичей”
L = [J L(Fi,Ni'), i
L(Fi,Ni) = {H: Fi 6 H 6 Ni},
где i пробегает некоторое множество индексов. Причем Fi нормально в Ni. Изуче­ние таких решеток сводится к изучению факторгрупп Ni/Fi. Гипотезы, выдвинутые в работе [11], утверждают, что в группах Шевалле решетки подгрупп, содержащих элементарную подсистемную подгруппу для достаточно большой подсистемы, удо­влетворяют sandwich classification для определенных Fi и N. Такие теоремы также называются стандартным описанием.
Однако, (по крайней мере) для случаев, когда подсистема имеет неприводимую компоненту типа А1, формулировки гипотез в работе [11] следует модифицировать, так как иначе из них бы следовала нормальность элементарной подгруппы в SL(2, R), что не всегда верно.
Основной результат настоящей работы похож на sandwich classification, но подгруп­па Fi , вообще говоря, не будет нормальна в Ni .
Работа [8] посвящена А2 доказательству структурных теорем, то есть доказатель­ству использующему элемент вида ха(^}х^(С,), где (а,!3) = 2^, для попадания в па- раболичекую подгруппу. Наш метод доказательства частично основан на замечании после доказательства основной леммы работы [8], согласно которому, для попада­ния в параболическую подгруппу можно использовать элемент вида ха(^)х^(£), где (а,Р) = . Такой способ будет называться 2Д1-доказательством, и он позволяет изучать надгруппы подсистемных подгрупп для подсистем типа пЛ1.
Купить

В работе описаны надгруппы подсистемной под­группы в группе Шевалле над коммутативным кольцом. Доказано, что решётка надгрупп разбивается в дизъюнктное объединение «сэндвичей», которые находятся во взаимно-однозначном соответствии с сетями идеалов кольца.
Купить