Тема: Идентификация кратных корней знаменателя спектральной плотности стационарных моделей

В современном мире статистическая обработка временных рядов используется для выявления изменения тенденций, периодических закономерностей, для прогноза ряда или его моделирования. В данной работе основное внимание было уделено исследованию стационарных случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью, а именно, изучению методов выявления кратных корней знаменателя спектральной плотности стационарных моделей.
Определение. Случайный процесс X(t) называется стационарным в широком смыс­ле, если математическое ожидание процесса является константой, то есть EX(t) = с, кроме того, E|X(t)|2 < м и корреляционная функция R(t,s) = EX(t)X(s) зависит, лишь от разности, t — s: R(t,s) = R(t — s).
На практике очень часто встречаются случайные процессы, квадратичные харак­теристики которых остаются неизменными во времени. Именно эти процессы и назы­ваются стационарными. Исследование подобных процессов осуществляется с помощью методов теории вероятностей и математической статистики.
Основная цель работы состоит в том, чтобы исследовать возможность идентифи­кации и оценки кратности корней знаменателя спектральной плотности стационарных моделей. Поставленный вопрос имеет важную роль, поскольку наличие кратного корня говорит о том, что в данной точке существует пик у спектральной плотности, то есть происходит резонанс.
Изучение свойств спектральной плотности стационарных процессов дает возмож­ность характеризовать спектральный (или частотный) состав процесса. Этот факт ши­роко используется при изучении различных сигналов и процессов.
В ходе работы были поставлены следующие задачи:
• Моделирование процесса с дискретным параметром
• Статистическая обработка полученных результатов
• Выявление возможности оценки кратности корней знаменателя спектральной плот­ности построенных моделей.
В ходе работы были исследованы методы оценивания параметров различных про­цессов, а также возможность идентификации кратных корней знаменателя спектраль­ной плотности построенных моделей. Теоретический материал по данному вопросу пред­ставлен в главе 1, а результаты статистической обработки описаны в разделах 2.2 и 2.3.
Кроме того, были исследованы общие принципы моделирования, применимые к процессам из рассматриваемого класса. Способы моделирования случайных процессов с дробно-рациональными спектральными плотностями подробно изложены в книге [1]. В разделе 1.6 приведены некоторые изученные методы моделирования, которые подробно представлены в книге [2]. Данный теоретический материал был реализован на практике с помощью языка программирования R, широко используемого для статистического анализа, и полученные результаты приведены в разделе 2.1.
Купить

В ходе данной работы были исследованы стационарные случайные процессы с дробно-рациональной спектральной плотностью. Также были изучены некоторые ме­тоды их моделирования.
Следует отметить, что было проведено построение моделей для процесса с дис­кретным параметром, имеющим спектральную плотность с некратными корнями зна­менателя, с корнями знаменателя второй и третьей кратности, а также с наличием «мешающего» воздействия.
Также было проведено исследование возможности идентификации и оценки крат­ности корней знаменателя спектральной плотности стационарных моделей в дискрет­ном случае. В частности, был разработан и реализован метод, позволяющий получить необходимые оценки для построения эффективной модели. Полученный метод был ис­следован на разнообразных примерах, что позволило определить возможности и пре­имущества разработанного алгоритма.
По проведенному исследованию можно сделать вывод о том, что в классе стаци­онарных процессов с дискретным параметром и с дробно-рациональной спектральной плотностью есть возможность не только оценить параметры процессов и построить со­ответствующую модель, но и определить наличие кратных корней в знаменателе спек­тральной плотности и установить порядок их кратности.
Таким образом, обладая рядом наблюдений некоторого процесса, можно выбрать наиболее удобный метод оценивания параметров и построить эффективную модель. Это позволяет более подробно изучать и исследовать различные свойства процесса, а также способствует проведению прогнозирования.
Купить