ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ 4
ВВЕДЕНИЕ 5
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 7
1 Модель «хищник-жертва» 7
1.1 Анализ детерминированной модели 7
1.2 Анализ стохастической модели 11
2 Двумерные подсистемы трехмерной модели «хищник-две жертвы» 16
2.1 Анализ детерминированных подсистем 16
2.2 Анализ стохастических подсистем 20
3 Модель «хищник-две жертвы» 23
3.1 Анализ детерминированной модели 23
3.2 Анализ стохастической модели 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 37
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 38
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ
Основоположниками изучения популяционной динамики считаются А. Лотка (1925 г.) и В. Вольтерра (1926 г.). Вдохновленный исследованиям Вольтерра, А.Н. Колмогоров начал изучать модель не конкретно задавая зависимости, а только вводя ограничения на функции. Большой вклад в изучение этой модели внес А.Д. Базыкин [1]. Его работы посвящены построению и изучению большого числа детерминированных моделей типа «хищник-жертва».
Биологически классическую думерную модель «хищник-жертва» можно интерпретировать следующим образом: волки (хищники) охотятся на зайцев (жертв), зайцы конкурируют между собой, к примеру, за пропитание. Волки также конкурируют между собой за отличные от жертв ресурсы - лис.
Естественно, исследования не ограничились двумя сосуществующими популяциями. Существует также популяционная модель «хищник-две жертвы», описывающая взаимодействие уже трех популяций. Биологически модель можно интерпретировать следующим образом: волки (хищники) охотятся на зайцев (первые жертвы) и полевок (вторые жертвы). Зайцы и полевки могут конкурировать внутри своего вида за кров, а между собой - за пропитание, волки же, в свою очередь, могут конкурировать за отличный от жертв ресурс - лис.
Первый этап в работе по анализу моделей посвящен изучению двух моделей: «хищник- жертва» и «хищник-две жертвы» в детерминированном случае, то есть при отсутствии внешних факторов воздействия. Традиционно изучение детерминированных моделей нелинейной динамики сводится к анализу аттракторов и бифуркаций.
Однако, взаимодействие любых живых существ подвержено непредсказуемым внешним факторам, которые влияют на всех участников взаимодействия. С точки зрения экологии, такими факторами могут быть погодные условия, циклы солнечных и магнитных бурь, вмешательство человека или другие явления, не зависящие ни от хищников, ни от жертв. Анализу моделей под действием внешних факторов посвящен второй этап данной работы.
На сегодняшний день обе модели не изучены до конца, в связи с многообразием режимов, возникающих при различных наборах параметров.
Стохастический анализ модели «хищник-жертва» в случаях, когда, либо отсутствует конкуренция жертв (е = 0), либо отсутствует конкуренция хищников (5 = 0) проводился в работах [2] и [3], а при наличии конкуренции двух типов в работе [4]. В работах [5], [6] авторами были описаны различные возникающие бифуркации и представлены типичные динамические режимы. В работе [7] исследование данной модели было расширено на изучение стохастической модели, акцент исследований в работе сделан на изучение стохастической чувствительности циклов в зоне каскада бифуркации удвоения периода.
В данной работе будет изучена популяционная модель «хищник-жертва» с учетом конкуренции двух типов в детерминированном и стохастическом случаях в зоне параметров отличной от представленной в работе [4], что подразумевает качественно отличные динамические режимы.
В популяционной модели «хищник-две жертвы» изучены детерминированные бифуркации равновесий и циклов из параметрической зоны, обратных бифуркаций удвоения периода. А также воздействие на эти аттракторы случайного возмущения и вызванные его присутствием феномены.
Анализ выбранных для данной работы моделей состоит из следующих этапов:
1. нахождение равновесий, анализ их устойчивости,
2. нахождение циклов,
3. исследование параметрических зон сосуществования аттракторов,
4. построение бифуркационных диаграмм,
5. построение бассейнов притяжения сосуществующих аттракторов,
6. анализ чувствительности равновесий,
7. анализ чувствительности циклов,
8. построение доверительных областей: эллипсов и эллипсоидов для равновесий, полос и торов - для циклов,
9. изучение индуцированных шумом явлений.
В работе представлены результаты исследования популяционых моделей следующих типов: «хищник-жертва» с учетом двух видов конкуренции и «хищник-две жертвы» с учетом конкуренции трех типов в детерминированном и стохастическом случаях.
В ходе анализа существования и устойчивости аттракторов были построены бифуркационные диаграммы детерминированных моделей. Для параметрических зон, где реализуются различные динамические режимы, построены фазовые портреты и про-анализировано их взаимное расположение. Найдены значения параметров, в которых происходят бифуркации. Проведено описание этих бифуркаций и определены зоны параметра, где у систем сосуществуют два устойчивых аттрактора.
Также была изучена чувствительность аттракторов модели к внешнему (аддитивному или параметрическому) возмущению. Найдены зависимости коэффициентов стохастической чувствительности от параметра модели. На основе найденной чувствительности построены доверительные области, описывающие разброс случайных состояний вокруг детерминированного аттрактора.
И, наконец, изучены индуцированные шумом феномены, такие как переходы между аттракторами, генерация большеамплитудных колебаний и вымирание популяций (обнаружены и описаны вымирания нескольких типов). Для всех случаев вымирания найдены критические значения интенсивности шума необходимые для их возникновения. Представлены вероятности вымирания популяций, подверженных случайному внешнему воздействию.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
