Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЖИВЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Работа №101183

Тип работы

Дипломные работы, ВКР

Предмет

математика

Объем работы44
Год сдачи2020
Стоимость4270 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено
117
Не подходит работа?

Узнай цену на написание


ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ 6
ВВЕДЕНИЕ 8
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 11
1 Одномерная модель нейронной активности 11
1.1 Стохастическая модель Рулькова 11
1.2 Анализ стохастической чувствительности 13
2 Одномерная модель популяционной динамики 16
2.1 Детерминированный случай 16
2.2 Стохастический случай 18
3 Двумерная модель популяционной динамики 25
3.1 Детерминированный случай 25
3.2 Стохастический случай 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 38
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 39
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Область научных исследований, связанная с моделированием и анализом различных живых систем, в последние годы привлекает внимание не только биологов, но и математиков. Интерес к данным моделям с математической точки зрения прежде всего связан с необходимостью их описания языком динамических систем. И здесь основная задача заключается в описании разнообразных бифуркаций и анализ устанавливающихся режимов как регулярных, так и хаотических.
Начав с моделей нейронной динамики, необходимо заметить, что численные исследования нейронной активности обычно основаны либо на физиологических, либо на феноменологических моделях. Большинство рассматриваемых феноменологических моделей описываются системой дифференциальных уравнений третьего порядка и выше (модель Ходжкина-Хаксли [1] и модель Хиндмарша-Роуза [2]). Такие системы позволяют моделировать сложное поведение нейрона: спайки и бёрсты. С математической точки зрения такое поведение означает переход от равновесия к периодическим или хаотическим режимам. В то же время для моделирования различных режимов колебаний с использованием дискретных систем можно ограничиться системами меньшей размерности. В этом случае нейронная активность чаще всего может быть описана системой, состоящей по крайней мере из двух временных шкал: быстрая, соответствующая потенциалам действия, и медленная, соответствующая изменению концентрации открытия ионных каналов [3, 4, 5, 6]. Также часто изучаются модели, где вторая медленная переменная принимается как константа. Благодаря этому предположению система становится одномерной [5, 7, 8]. В силу функционирования реальной живой системы в присутствии случайного возмущения динамика может не только существенно усложняться, но и демонстрировать явления, которые не наблюдаются в детерминированных системах. Случайные составляющие чаще всего подразделяют на внешние факторы (аддитивный шум) и внутренние (параметрический шум) [9, 10, 11]. В задачах, объединяющих в себе нелинейность и стохастическую составляющую, хорошо зарекомендовал себя метод функции стохастической чувствительности, используемый для изучения отклика аттракторов на вносимый шум и описания стохастических феноменов [12, 13, 14, 15, 16, 17]. За последние годы этот метод не единожды применялся для одномерных отображений, задаваемых гладкими функциями [18, 19, 20]. А также в работах [21, 3] на примере модели нейронной активности Рулькова показано, что функция стохастической чувствительности и связанный с ней метод доверительных областей могут быть применены для кусочно-гладких отображений с целью описания феноменов, наблюдаемых в параметрических зонах регулярных аттракторов. В первой главе данной работы на основе метода функции стохастической чувствительности изучается генерация индуцированных шумом спайков в одномерной модели Рулькова.
Природа кусочно-гладких отображений приводит динамику описываемой модели к новым бифуркациям, не наблюдаемым в гладких системах, например, удвоение кусочности хаотического аттрактора и бифуркация столкновения с границей. Теория кусочно-гладких отображений в настоящее время широко развивается и, например, в работах [22, 23, 24, 25] дается описание этих бифуркаций, а также инструментария, который представляется полезным в описании данных явлений.
Также настоящая работа посвящена исследованию моделей популяционной динамики. В работах [26, 27, 28, 29] рассмотрены популяционные модели, демонстрирующие различные динамические режимы. Наряду с моделями, задаваемыми гладкими отображениями, большое внимание привлекают кусочно-гладкие отображения как с разрывами, так и без. В работах [30, 31, 32] описываются примеры моделей популяций такого типа. При наличии случайного возмущения важным является изучение воздействия шума с целью не допустить нежелательных экологических сдвигов, вызванных случайными факторами. Таким образом, целью второй главы данной работы является как описание бифуркаций кусочно-гладких отображений, так и изучение отклика одномерной популяционной модели на вносимое случайное возмущение. Благодаря методу функции стохастической чувствительности описывается феномен индуцированного шумом вымирания, а также находятся критерии, необходимые для достижения этого режима.
Говоря о системах, описывающих поведение взаимодействующих популяций, следует упомянуть о моделях, которые учитывают различные факторы взаимодействия, такие как совместная охота, разделение популяции по полу или возрасту [33, 34, 35, 36, 37]. А также традиционно используются различные функции для описания взаимодействия популяции жертв и хищников (функции Холлинга различного типа) [38]. В моделях с дискретным временем даже на первый взгляд простейший вид нелинейности приводит к возникновению различных сложных режимов динамики [39, 40, 41]. Главным инструментом становится математическая теория бифуркаций как аттракторов, так и их бассейнов [42]. Однако, как упоминалось выше, существование живых систем невозможно без влияния на их деятельность различных факторов, обладающих случайной природой.
В третьей главе данной работы проводится анализ возможных режимов, в первую очередь, детерминированной модели Лотки-Вольтерры с дискретным временем в зависимости от параметров системы. Ранее в работах [39, 40, 43] проводился параметрический анализ существования и устойчивости равновесий данной модели с построением однопараметрических бифуркационных диаграмм и примеров фазовых портретов. В работе [43] помимо этого найдены условия для возникновения Флип бифуркации и Неймарка-Саккера, а также описывается метод управления хаосом. В настоящей же работе демонстрируется бифуркационный сценарий на двупараметрической карте режимов и показывается сложная структура бассейнов притяжения аттракторов. Наряду с детерминированной системой в третьей главе подробно изучается стохастическая, описывающая влияние внешнего случайного воздействия. Ранее данная модель не изучалась в стохастической интерпретации. Аналогично, опираясь на технику функции стохастической чувствительности [44, 45], исследуется анализ разброса случайных состояний вокруг регулярных, периодических, квазипериодических и хаотических ат-тракторов.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь студентам в написании работ!


В работе представлены результаты исследования следующих моделей: одномерная модель нейронной активности Рулькова, одномерная популяционная модель и двумерная модель популяционной динамики Лотки-Вольтерры.
В первой главе данной работы для детерминированной модели были найдены параметрические зоны существования аттракторов системы, была дана классификация возможных динамических режимов при различных значениях параметров а и ф. Используя метод функций стохастической чувствительности, исследованы два механизма генерации спайков, вызванные добавлением случайного возмущения в управляющий параметр ф. Также благодаря методу доверительных областей была найдена минимальная интенсивность шума, которой достаточно для генерации спайков. Изучена природа возникновения спайков в системе, а также описаны основные характеристики межспайковых интервалов.
Во второй главе данной работы изучено влияние случайного возмущения двух типов (аддитивный и параметрический шум) на одномерную кусочно-гладкую модель, описывающую динамику численности одной популяции. Была построена карта динамических режимов данной модели, а также изучены бифуркационные диаграммы, показано самоподобие. Впервые метод функции стохастической чувствительности и техника доверительных областей были использованы для описания хаотического аттрактора стохастической модели популяционной динамики, описываемой кусочно-гладким отображением, при случайном воздействии как аддитивного, так и параметрического вида. Найдены критерии вымирания популяции.
В третьей главе рассмотрены детерминированный и стохастический случаи популяционной модели типа «хищник-жертва» с дискретным временем. Изучены равновесия, их устойчивость и бифуркационные сценарии, представленные картой динамических режимов в зависимости от параметров а, Ь, с и d.Построены бифуркационные диаграммы и бассейны притяжения изучаемых аттракторов. Обнаружено, что не для всех начальных значений плотностей популяций система может прийти в стационарный режим, возможен также неограниченный рост популяций. Изучены зоны параметра а, при которых поведение модели является хаотическим. В случае воздействия на систему внешнего аддитивного шума исследована чувствительность таких аттракторов данной модели, как равновесие, циклы, замкнутая инвариантная кривая и хаотический аттрактор. Были построены доверительные эллипсы и полосы рассеивания, позволяющие описать разброс случайных состояний. Показана зависимость функции стохастической чувствительности аттракторов от бифуркационных параметров. Также была найдена зависимость интенсивности шума от параметра а, при которой в системе наблюдается вымирание популяции хищников.



Hodgkin A. L., Huxley A. F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // The Journal of Physiology. — 1952. — Vol. 117, no. 4. — P. 500-544.
Hindmarsh J. L., Rose R. M. A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations // Proceedings of The Royal Society B. — 1984. — Vol. 221, no. 1222. — P. 87-102.
Bashkirtseva I., Nasyrova V., Ryashko L. Noise-induced bursting and chaos in the two-dimensional Rulkov model // Chaos, Solitons & Fractals. — 2018.— Vol. 110. —P. 76-81.
Rulkov N. F. Modeling of Spiking-Bursting Neural Behavior Using Two-Dimensional Map // Physical Review E. -- 2002. -- Vol. 65. -- P. 041922.
Rulkov N. F., Neiman A. B. Control of sampling rate in map-based models of spik¬ing neurons // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. -- 2018. -¬Vol. 61. — P. 127-137.
Shilnikov A. L., Rulkov N. F. Origin of chaos in a two-dimensional map modeling spiking-bursting neural activity // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2003. — Vol. 13, no. 11. — P. 3325-3340.
Bashkirtseva I. Stochastic phenomena in one-dimensional Rulkov model of neuronal dy-namics // Discrete Dynamics in Nature and Society. — 2015. — Vol. 2015. — P. 1-7.
One-dimensional map-based neuron model: A logistic modification / S. Mesbah, M. Moghtadaei, M. R. H. Golpayegani, F. Towhidkhah // Chaos, Solitons & Fractals.— 2014.-Vol. 65. — P. 20-29.
Population extinction in discrete-time stochastic population models with an Allee effect / L. J. S. Allen, J. F. Fagan, G. Hognas, H. Fagerholm // Journal of difference equations and applications.-2005.-Vol. 11, no. 4-5. — P. 273-293.
Bashkirtseva I. A. Stochastic Sensitivity Synthesis in Discrete-Time Systems with Para-metric Noise // IFAC-PapersOnLine. -- 2018. -- Vol. 51, no. 32. -- P. 610-614.
Bashkirtseva I., Tsvetkov I. Impact of the parametric noise on map-based dynamical systems // AIP Conference Proceedings. -- 2018. -- Vol. 2025, no. 1. -- P. 040004. 
Bashkirtseva I., Ekaterinchuk E., Ryashko L. Analysis of noise-induced transitions in a generalized logistic model with delay near Neimark-Sacker bifurcation // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2017. — Vol. 50, no. 27. — P. 275102.
Bashkirtseva I., Ryashko L. Noise-induced shifts in the population model with a weak Allee effect // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2018. —Vol. 491. — P. 28-36.
Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic Sensitivity Analysis of Noise-Induced Extinction in the Ricker Model with Delay and Allee Effect // Bulletin of Mathematical Biology. —
2018. --Vol. 80, no. 6.-P. 1596-1614.
Jungeilges J., Ryazanova T. Transitions in consumption behaviors in a peer-driven stochastic consumer network // Chaos, Solitons and Fractals. -- 2019. -- Vol. 128. -- P. 144¬154.
Belyaev A. V., Ryazanova T. V. The stochastic sensitivity function method in analysis of the piecewise-smooth model of population dynamics // Izv. IMI UdGU. -- 2019. -¬Vol. 53. — P. 36-47.
Belyaev A., Ryazanova T. Stochastic sensitivity of attractors for a piecewise smooth neuron model // Journal of Difference Equations and Applications. — 2019. — Vol. 25, no. 9-10. — P. 1468-1487.
Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic sensitivity analysis of noise-induced order-chaos transitions in discrete-time systems with tangent and crisis bifurcations // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. -- 2017. -- Vol. 467. -- P. 573-584.
Bashkirtseva I. Preventing noise-induced extinction in discrete population models // Discrete Dynamics in Nature and Society. -- 2017. -- Vol. 2017. -- P. 1-10.
Bashkirtseva I. Crises, noise, and tipping in the Hassell population model // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2018.—Vol. 28, no. 3. — P. 033603.
Bashkirtseva I., Nasyrova V., Ryashko L. Analysis of noise effects in a map-based neuron model with Canard-type quasiperiodic oscillations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2018.—Vol. 63. — P. 261-270.
Piecewise-smooth dynamical systems / M. B. Laurea, A. R. Champneys, C. J. Budd, P. Kowalczyk. — London: Springer, 2008.
Avrutin V., Sushko I. A gallery of bifurcation scenarios in piecewise smooth 1d map // Global Analysis of Dynamic Models in Economics and Finance. Berlin-Heidelberg: Springer. — 2012. — P. 369-395. 
Bifurcations of chaotic attractors in one-dimensional piecewise smooth maps / V. Avrutin, L. Gardini, M. Schanz, I. Sushko // International Journal of Bifurcation and Chaos.-2014.-Vol. 24, no. 8.-P. 1440012.
Sushko I., Gardini L., Avrutin V. Nonsmooth one-dimensional maps: some basic con¬cepts and dehnitions // Journal of Difference Equations and Applications. — 2016. — Vol. 22, no. 12.-P. 1816-1870.
Chesson P. Stochastic population models // Ecological Heterogeneity. Ecological Studies (Analysis and Synthesis). New York: Springer. — 1991. — Vol. 86. — P. 123-143.
Lande R., Engen S., Saether B.-E. Stochastic population dynamics in ecology and conserva¬tion.—Oxford University Press, 2003.
Turchin P. Complex population dynamics: a theoretical/empirical synthesis. — Princeton Uni-versity Press, 2003.
Gadrich T., Katriel G. A mechanistic stochastic Ricker model: analytical and numerical investigations // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2016. — Vol. 26, no. 4.
Murray J. D. Discrete population models for a single species // Interdisciplinary Applied Mathematics. New York: Springer. -- 1993. -- P. 44-78.
May R. M. Simple mathematical models with very complicated dynamics // Nature. -- 1976.-Vol. 261, no. 5560.-P. 459-467.
Dynamics of a nonlinear discrete population model with jumps / R. J. Higgins, C. M. Kent, V. L. Kocic, Y. Kostrov // Applicable Analysis and Discrete Mathematics.— 2015.-Vol. 9, no. 2. — P. 245-270.
Dynamics of a discrete-time stage-structured predator-prey system with Holling type II response function / G. P. Neverova, O. L. Zhdanova, B. Ghosh, E. Y. Frisman // Nonlinear dynamics. — 2019.—Vol. 9, no. 1. — P. 427-446.
Khan A. Q. Bifurcations of a two-dimensional discrete-time predator-prey model // Advances in difference equations. — 2019. — Vol. 2019. — P. 56.
Pal S., Pal N., Chattopadhyay J. Hunting Cooperation in a Discrete-Time Predator¬Prey System // International journal of bifurcation and chaos. — 2018. — Vol. 28, no. 7. — P. 1850083.
Zhao M., Li C. P., Wang J. L. Complex dynamic behaviors of a discrete-time predator¬prey system // Journal of applied analysis and computation. — 2017. — Vol. 7, no. 1.— P. 478-500. 
Saratchandran P. P., Ajithprasad K. C., Harikrishnan K. P. Numerical exploration of the parameter plane in a discrete predator-prey model // Ecological complexity. — 2015. — Vol. 21. — P. 112-119.
Raj M. ReniSagaya, Selvam A. George Maria, Dhineshbabu R. Stability in a discrete non-linear prey-predator model with functional response // International Journal of Emerging Technologies in Computational and Applied Sciences. — 2014. — Vol. 7, no. 2.--P. 190¬193.
Raj M. ReniSagaya, Selvam A. George Maria, Meganathan M. Dynamics in a Discrete Prey-Predator System // International Journal of Engineering Research and Develop¬ment. -- 2013. -- Vol. 6, no. 5. -- P. 01-05.
Chaos and bifurcation of a nonlinear discrete prey-predator system / A. A. E. Elsadany, H. A. EL-Metwally, E. M. Elabbasy, H. N. Agiza // Computational Ecology and Soft¬ware. - 2012. -Vol. 2, no. 3.-P. 169-180.
Ren J. L., Yu L. P., Siegmund S. Bifurcations and chaos in a discrete predator-prey model with Crowley-Martin functional response // Nonlinear dynamics. — 2017. — Vol. 90, no. 1. -- P. 19-41.
Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures / V. Avrutin, L. Gardini, I. Sushko, F. Tramontana. — World Sci- entihc Publishing Co, 2019.
Zhao Ming, Xuan Zuxing, Li Cuiping. Dynamics of a discrete-time predator-prey sys¬tem // Advances in Difference Equations. — 2016. — Vol. 2016, no. 1.
Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic sensitivity analysis of the attractors for the ran¬domly forced Ricker model with delay // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics. - 2014.-Vol. 378, no. 48.-P. 3600-3606.
Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Stochastic sensitivity analysis of chaotic attractors in 2D non-invertible maps // Chaos, Solitons and Fractals. -- 2019. -- Vol. 126. -- P. 78-84.
Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic sensitivity of regular and multi-band chaotic at-tractors in discrete systems with parametric noise // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics. - 2017. - Vol. 381, no. 37.-P. 3203-3210.
Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic sensitivity analysis of noise-induced intermittency and transition to chaos in one-dimensional discrete-time systems // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2013. — Vol. 392, no. 2. — P. 295-306.
Bashkirtseva I. Mean-square analysis of stochastic cycles in nonlinear discrete-time sys¬tems with parametric noise // Journal of Difference Equations and Applications. — 2014. — Vol. 20, no. 8.-P. 1178-1189. 
49 Bashkirtseva I., Ryashko L. Approximating chaotic attractors by period-three cycles in discrete stochastic systems // International Journal of Bifurcation and Chaos.--2015. — Vol. 25, no. 10. — P. 1550138.
50 Bashkirtseva I., Ryashko L., Tsvetkov I. Sensitivity analysis of stochastic equilibria and cycles for the discrete dynamic systems // Dynamics of Continuous, Discrete and Impul¬sive Systems Series A: Mathematical Analysis. — 2010. — Vol. 17, no. 4. — P. 501-515.
51 Bischi G.-I., Stefanini L., Gardini L. Synchronization, intermittency and critical curves in a duopoly game // Mathematics and Computers in Simulation. — 1998. --Vol. 44, no. 6. — P. 559-585.
52 Chaotic dynamics in two-dimensional noninvertible maps / C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J.-C. Cathala.--World Scientific Publishing Company, 1996.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.



Подобные работы


©2024 Cервис помощи студентам в выполнении работ