Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ ФЕНОМЕНОВ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МОДЕЛЯХ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ

Работа №100573

Тип работы

Дипломные работы, ВКР

Предмет

математика

Объем работы33
Год сдачи2020
Стоимость4200 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено
105
Не подходит работа?

Узнай цену на написание


ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ 4
ВВЕДЕНИЕ 5
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 7
1 Паттерны в модели Брюсселятора 7
1.1 Формирование паттернов и мультистабильность 8
1.2 Переходные процессы 10
1.3 Подавление гомогенных автоколебаний 13
1.4 Стохастические переходы между паттернами 13
1.5 Стохастическая генерация паттернов 16
2 Анализ популяционной модели 19
2.1 Детерминированный анализ 20
2.2 Анализ стохастических переходов 24
2.3 Стохастическая генерация паттернов 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Механизмы самоорганизации привлекают внимание многих исследований в самых разных областях науки. Различные явления, связанные с подобными процессами часто встречаются в физике, химии, биологии, экологии и других дисциплинах [1, 2, 3, 4, 5]. Однако, очень часто изучение этих процессов и наблюдение за ними в природе осложняется многими факторами, а попытки их воссоздания могут быть крайне сложными и трудоемкими. В этих условиях, одним из главных инструментов для изучения феноменов является математическое моделирование с использованием численных методов и вычислительной техники [6, 7, 8].
Одним из многих примеров механизмов самоорганизации в природе является феномен диффузионной неустойчивости (или неустойчивости Тьюринга) [9, 10]. Многие научные труды посвящены формированию тьюринговских паттернов. Примеров таких паттернов достаточно: пигментация на шкурах животных [11], ареалы в популяционной динамике [12, 13, 14], нейронные взаимодействия [15] и многие другие. Наиболее важная задача заключается в составлении компетентных теорий по предсказанию поведения процессов самоорганизации. Другой важный вопрос для изучения - это возможность оказывать влияние на эти процессы и направлять их в нужную сторону.
Сравнительно новая тема для исследований - поведение соответствующих систем вблизи границ бифуркации различных видов. Большинство математических моделей с самоорганизацией имеют сложную структуру и динамику. Так, например, во многих моделях нелинейной динамики с диффузией можно наблюдать возникновение автоколебательных режимов (бифуркация Андронова-Хопфа) наряду с генерацией стационарных пространственно-неоднородных состояний (бифуркация Тьюринга) [16, 17, 18, 19]. Наблюдения показывают, что гомогенные осцилляции могут стать неоднородными или быть подавленными диффузией с последующим формированием стационарного паттерна [20, 21].
Наконец, чтобы приблизить численный эксперимент к естественным условиям, необходимо учитывать влияние случайных возмущений на динамику системы. Широкий спектр природных явлений связан с нелинейностью и стохастичностью. Примером могут быть индуцированные случайным шумом фазовые переходы и стохастическая самоорганизация. Природа шума случайна, но очень часто он играет ключевую роль в установлении относительного порядка в системах.
Поскольку соответствующие модели являются нелинейными и стохастическими, возникают сложности в вычислениях. К тому же, лишь узкий круг моделей можно изучать аналитическими методами. Для избежания этих проблем, модели упрощаются и аппроксимируются. Несмотря на риск потери важной информации, такой подход часто оказывается достаточным для исследования отдельно взятого явления.
В этой работе рассмотрены две распределенные модели нелинейной динамики с диффузией. Каждая из двух основных частей является независимым исследованием соответствующей модели. В первой части исследован распределенный Брюсселятор с диффузией - классическая модель, служащая отправной точкой для изучения самоорганизации в химических реакциях. Вторая часть посвящена исследованию модели динамики популяций с диффузией [22, 23]. Между этими моделями было обнаружено сходство в характере наблюдаемых явлений.
Исследование модели выполнено по схожей схеме. Первый этап - вывод параметрической зоны неустойчивости Тьюринга, в которой ожидается генерация пространственных паттернов. Границы этих зон могут быть выведены аналитически методом составления дисперсионного уравнения и нахождения его корней. Затем, для системы показаны примеры паттернов при различных наборах параметров, рассмотрены соответствующие сценарии генерации неоднородных структур. Важным результатом является мультистабильность моделей - процесс формирования и его результат сильно зависят от начального состояния системы.
Стохастический анализ рассматривает два вида феноменов, обнаруженных в этих моделях. Первый - стохастическая генерация паттернов в зоне диффузионной устойчивости. Показано, что шум малой интенсивности способствует формированию относительно устойчивых неоднородных структур в зоне, где однородное состояние является устойчивым. Второй феномен - индуцированные шумами переходы между паттернами в зоне диффузионной неустойчивости. Под воздействием шума одни структуры рассеиваются, в то время как другие оказываются более устойчивыми к возмущениям.
В процессе исследования применен метод модальных коэффициентов, который позволяет более детально рассматривать динамику системы и более точно фиксировать факт формирования структур. На базе этого метода проведен статистический анализ популяционной модели.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь студентам в написании работ!


В ходе данной работы была рассмотрена генерация паттернов в стохастическом Брюсселяторе с диффузией и стохастической модели ’’хищник-жертва”. Показано, что в параметрической зоне тьюринговской неустойчивости имеет место мультистабильность и, как следствие, сосуществование большого числа паттернов. Часто сценарии генерации могут проходить в несколько этапов с формированием промежуточных структур. На примере де-терминированного анализа продемонстрирован метод модальных коэффициентов.
Рассмотрены сценарии индуцированной шумом генерации паттернов в зоне диффузионной устойчивости. Показано, что при воздействии шума формируются структуры подобные тьюринговским. Для выявления преобладающих в системе мод применен метод модальных мощностей. Статистический анализ генерации паттернов в модели ”хищник-жертва” показал, что моды по разному реагируют на рост интенсивности шума. Стохастические переходы в зоне диффузионной неустойчивости исследованы с применением анализа модальных коэффициентов.
Результаты исследований были представлены в виде докладов на научных конференциях ”Современные Проблемы Математики” (г. Екатеринбург, 2018, 2019, 2020), ’Физика. Технологии. Инновации.” (г. Екатеринбург, 2018, 2019), ’Динамика. Бифуркации. Хаос.” (г. Нижний Новгород, 2018). Эти результаты опубликованы в ряде статей [24, 25, 26, 27, 28, 29].
В данный момент ведется работа в двух направлениях. Первое - изучение связи автоколебательных режимов и диффузионных переходов. Рассмотрены некоторые сценарии, в том числе и стохастические, подавления автоколебаний и формирования стационарных неоднородных структур. Результат был представлен на конференции ”Физика. Технологии. Инновации.” (г. Екатеринбург, 2020), планируется публикация.
Второе направление - исследование числовых характеристик стохастической чувствительности паттернов. На данный момент имеются результаты статистического анализа, представленные в виде доклада на конференции ”Современные Проблемы Математики” (г. Екатеринбург, 2020). Однако основная цель работы - поиск аналитического метода оценки чувствительности.



1. Cross M., Greenside H. Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. — Cam¬bridge : Cambridge University Press, 2009.
2. D’Odorico P., Laio F., Ridolfi L. Vegetation patterns induced by random climate fluctuations // Geophysical Research Letters. —2006. —Vol. 33. —P L19404.
3. Gambino G., Lombardo M. C., Sammartino M. et al. Turing pattern formation in the Brusse-lator system with nonlinear diffusion // Phys. Rev. E. — 2013. — Vol. 88. —P. 042925.
4. Smith-Roberge J., Iron D., Kolokolnikov T. Pattern formation in bacterial colonies with density-dependent diffusion // European Journal of Applied Mathematics. — 2019. — Vol. 30, no. 1.—P. 196-218.
5. Zhou J., Shi J. Pattern formation in a general glycolysis reaction-diffusion system // IMA Jour¬nal of Applied Mathematics. — 2015. — Vol. 80. —P 1703-1738.
6. Alqahtani A. M. Numerical simulation to study the pattern formation of reaction-diffusion Brusselator model arising in triple collision and enzymatic // Journal of Mathematical Chem¬istry.—2018.—Vol. 56.— P 1543-1566.
7. Hoyle R. Pattern Formation: An Introduction to Methods. — Cambridge : Cambridge Univer¬sity Press, 2006.
8. Morton K. W. Numerical Solution of Partial Differential Equations: An Introduction. — Cam¬bridge : Cambridge University Press, 2005.
9. Nicolis G., Prigogine I. Self-Organization in Nonequilibrium Systems. —New York : Wiley, 1977.
10. Turing A. M. The chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. Royal Soc. of London. Ser. B, Biol. Sci. —1952.— Vol. 237.— P 37-72.
11. Sander E., Wanner T. Pattern formation in a nonlinear model for animal coats // Journal of Differential Equations. — 2003. — Vol. 131. — P 143-174.
12. Fiasconaro A., Valenti D., Spagnolo B. Nonmonotonic behavior of spatiotemporal pattern for¬mation in a noisy Lotka - Volterra system // Acta Physica Polonica B. — 2004. — Vol. 35. — P 1491-1500.
13. Valenti D., Fiasconaro A., Spagnolo B. Pattern formation and spatial correlation induced by the noise in two competing species // Acta Physica Polonica B. — 2004. — Vol. 35. — P 1481¬1489.
14. Wang X., Lutscher F. Turing patterns in a predator-prey model with seasonality // Journal of Mathematical Biology. —2019. — Vol. 78. — P. 711-737.
15. Zhao H., Huang X., Zhang X. Turing instability and pattern formation of neural networks with reaction-diffusion terms // Nonlinear Dynamics. —2014. — Vol. 76. —P. 115-124.
16. Baurmann M., Gross T., Feudel U. Instabilities in spatially extended predator-prey systems: Spatio-temporal patterns in the neighborhood of Turing-Hopf bifurcations // Journal of Theo-retical Biology. — 2007. — Vol. 245, no. 2. — P 220 - 229.
17. Ledesma-Duran A., Aragon J. L. Spatio-temporal secondary instabilities near the Turing— Hopf bifurcation // Scientific Reports. — 2019. — Vol. 9. —P 11287.
18. Meixner M., De Wit A., Bose S. et al. Generic spatiotemporal dynamics near codimension-two Turing-Hopf bifurcations //Phys. Rev. E. — 1997. —Vol. 55. —P 6690.
19. Ricardo M., Mishler S. Turing Instabilities at Hopf Bifurcation // Journal of Nonlinear Sci-ence. —2009. —Vol. 19. — P 467-496.
20. Kohsokabe T., Kaneko K. Boundary-induced pattern formation from uniform temporal oscil¬lation // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2018. — Vol. 28, no. 4. — P. 045110.
21. Li Y, Wang J., HouX. Stripe and Spot Patterns for the Gierer-Meinhardt Model with Saturated Activator Production//Journal of Mathematical Analysis and Applications. —2017. —01. —Vol. 449.—P. 1863-1879.
22. Liu X., Zhang T., Meng X. et al. Turing-Hopf bifurcations in a predator-prey model with herd behavior, quadratic mortality and prey-taxis//Physica A. — 2018. — Vol. 496.—P 446-460.
23. Yuan S., Xu C., Zhang T. Spatial dynamics in a predator-prey model with herd behavior // Chaos. —2013. —Vol. 23.— P 033102.
24. Kolinichenko A., Ryashko L. Analysis of spatiotemporal self-organization in stochastic population model // Physics, Technologies and Innovation, PTI 2018. — Vol. 2015. — United States : American Institute of Physics Inc., 2018. —9.
25. Kolinichenko A. P., Ryashko L. B. Analysis of stochastic transitions in the distributed model with diffusion // Physics, Technologies and Innovation, PTI 2019 / Ed. by Vladimir A. Volkovich, Sergey V. Zvonarev, Ilya V Kashin et al. —AIP Conference Proceedings. —United States : American Institute of Physics Inc., 2019. — 12.
26. Kolinichenko A. P. Ryashko L. B. Modality analysis of patterns in reaction-diffusion systems with random perturbations // Izv. IMI UdGU. — 2019. —Vol. 53. —P 73-82.
27. Kolinichenko A., Ryashko L. Multistability and Stochastic Phenomena in the Distributed Brus¬selator Model // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. — 2020. — 1. — Vol. 15, no. 1.
28. Kolinichenko A. P., Pisarchik A. N., Ryashko L. B. Stochastic phenomena in pattern formation for distributed nonlinear systems // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathemati¬cal, Physical and Engineering Sciences. —2020. — 5. — Vol. 378, no. 2171.
29. Kolinichenko A. P., Ryashko L. B. Analysis of Spatial Patterns in the Distributed Stochastic Brus-selator// Mathematical Analysis With Applications. CONCORD-90 2018. / Ed. by Pinelas S., Kim A., Vlasov V. — Vol. 318 of Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. — Springer, Cham, 2020. —P 195-204.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.



Подобные работы


©2024 Cервис помощи студентам в выполнении работ