Помощь студентам в учебе
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
|
1 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 7
1.1 Общая постановка краевой задачи 7
1.2 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка 10
1.3 Методы решения дифференциальных уравнений 12
2 НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ГИДРОДИНАМИКИ 14
2.1 Метод конечных разностей 14
2.2 Разложение функции в ряд Тейлора 21
3.3 Метод прогонки 23
3 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 26
3.1 Методика проведения численного эксперимента 26
3.2 Постановка задачи и основные уравнения 28
3.3 Алгоритм для нахождения горизонтальной компоненты вектора
скорости U 31
3.4 Алгоритм для нахождения вертикальной компоненты вектора скорости
V 34
3.5. Алгоритм для нахождения давления 37
3.6 Алгоритм для нахождения температуры 39
3.7 Результаты вычислительного процесса 42
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 50
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 7
1.1 Общая постановка краевой задачи 7
1.2 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка 10
1.3 Методы решения дифференциальных уравнений 12
2 НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ГИДРОДИНАМИКИ 14
2.1 Метод конечных разностей 14
2.2 Разложение функции в ряд Тейлора 21
3.3 Метод прогонки 23
3 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 26
3.1 Методика проведения численного эксперимента 26
3.2 Постановка задачи и основные уравнения 28
3.3 Алгоритм для нахождения горизонтальной компоненты вектора
скорости U 31
3.4 Алгоритм для нахождения вертикальной компоненты вектора скорости
V 34
3.5. Алгоритм для нахождения давления 37
3.6 Алгоритм для нахождения температуры 39
3.7 Результаты вычислительного процесса 42
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 50
РЕФЕРАТ
В данной магистерской диссертации исследованы конечно¬разностные методы для решения краевых задач. Разработан алгоритм реализации двумерной задачи несжимаемой жидкости, а также апробирован метод решения системы несжимаемой жидкости в переменных скорость- давление на примере решения стандартной тестовой задачи о движении вязкой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой.
При изучении движения несжимаемой жидкости необходимо наличие программных реализаций приближенных моделей, с помощью которых можно получить предварительное представление о характере течения.
Перспективным направлением современной вычислительной гидродинамики является моделирование нестационарных, несжимаемых, ламинарных течений, описываемых уравнениями несжимаемой жидкости. Решение математических моделей нестационарных, несжимаемых, ламинарных течений в настоящее время стало более актуальным как в связи с развитием численных методов расчета таких течений, в так называемых естественных переменных «скорость-давление», так и в связи с возможностями высокопроизводительной вычислительной техники.
Магистерская диссертация изложена на 55 страницах машинописного текста. Работа состоит из введения, трех разделов, изложения, заключения и списка литературы. Данная работа содержит 6 рисунков. Список использованных источников содержит 48 наименования.
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Она состоит из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.
Математическое моделирование процессов становиться одним из наиболее распространенных методов исследования объектов и явлений различной природы. Широкий круг задач, стоящих перед современной наукой и техникой, связан с решением уравнений движения жидкости.
Поэтому актуальной задачей является разработка и программная реализация вычислительного алгоритма, позволяющего решить систему уравнений для вязкого несжимаемого нестационарного течения жидкости.
Цель исследования - разработка эффективного алгоритма для решения системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости в переменных «скорость- давление» и составление программы для его численной реализации.
Задачи исследования:
- исследовать конечно-разностные методы для решения краевых задач.
- рассмотреть явные и неявные схемы для решения уравнений несжимаемой жидкости.
- разработать алгоритм реализации двумерной задачи несжимаемой жидкости
- составить программу для численной реализации алгоритма решения двумерной задачи несжимаемой жидкости на языке программирования Compaq Visual Fortran 6.5.
- апробировать метод решения системы уравнений несжимаемой жидкости в переменных скорость-давление на примере решения стандартной тестовой задачи о движении вязкой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой.
Объектом исследования магистерской диссертации являются краевые задачи дифференциальных уравнений и математический аппарат теории разностных схем.
Предметом исследования являются разностные схемы, получаемые при аппроксимации краевой задач вязкой несжимаемой жидкости в естественных переменных «скорость-давление».
Научная новизна
- на основе известной разностной схемы разработан численный алгоритм реализации решения двумерной задачи несжимаемой жидкости.
- полученный численный алгоритм апробирован и математически обоснован на примере решения тестовой задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой;
- проведены численные эксперименты для проверки и анализа полученных результатов. Приводятся результаты расчетов исследуемой задачи гидродинамики для различных значений числа Рейнольдса Re=100, 500, 1000, 2000.
Основные результаты и положения данной работы приведены с полными и подробными доказательствами, основанными на известных результатах теории краевых задач и численных методов решения дифференциальных уравнений. Достоверность полученных результатов обеспечена тестированием предложенного эффективного алгоритма на стандартной тестовой задаче о движении вязкой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой.
Теоретическая и практическая значимость исследования.
Полученные в работе результаты и методы их получения могут быть полезными для исследования краевых задач дифференциальных уравнений и для уравнений гидродинамики и являются дальнейшем развитием теории численного решения краевых задач дифференциальных уравнений.
В данной магистерской диссертации исследованы конечно¬разностные методы для решения краевых задач. Разработан алгоритм реализации двумерной задачи несжимаемой жидкости, а также апробирован метод решения системы несжимаемой жидкости в переменных скорость- давление на примере решения стандартной тестовой задачи о движении вязкой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой.
При изучении движения несжимаемой жидкости необходимо наличие программных реализаций приближенных моделей, с помощью которых можно получить предварительное представление о характере течения.
Перспективным направлением современной вычислительной гидродинамики является моделирование нестационарных, несжимаемых, ламинарных течений, описываемых уравнениями несжимаемой жидкости. Решение математических моделей нестационарных, несжимаемых, ламинарных течений в настоящее время стало более актуальным как в связи с развитием численных методов расчета таких течений, в так называемых естественных переменных «скорость-давление», так и в связи с возможностями высокопроизводительной вычислительной техники.
Магистерская диссертация изложена на 55 страницах машинописного текста. Работа состоит из введения, трех разделов, изложения, заключения и списка литературы. Данная работа содержит 6 рисунков. Список использованных источников содержит 48 наименования.
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Она состоит из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.
Математическое моделирование процессов становиться одним из наиболее распространенных методов исследования объектов и явлений различной природы. Широкий круг задач, стоящих перед современной наукой и техникой, связан с решением уравнений движения жидкости.
Поэтому актуальной задачей является разработка и программная реализация вычислительного алгоритма, позволяющего решить систему уравнений для вязкого несжимаемого нестационарного течения жидкости.
Цель исследования - разработка эффективного алгоритма для решения системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости в переменных «скорость- давление» и составление программы для его численной реализации.
Задачи исследования:
- исследовать конечно-разностные методы для решения краевых задач.
- рассмотреть явные и неявные схемы для решения уравнений несжимаемой жидкости.
- разработать алгоритм реализации двумерной задачи несжимаемой жидкости
- составить программу для численной реализации алгоритма решения двумерной задачи несжимаемой жидкости на языке программирования Compaq Visual Fortran 6.5.
- апробировать метод решения системы уравнений несжимаемой жидкости в переменных скорость-давление на примере решения стандартной тестовой задачи о движении вязкой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой.
Объектом исследования магистерской диссертации являются краевые задачи дифференциальных уравнений и математический аппарат теории разностных схем.
Предметом исследования являются разностные схемы, получаемые при аппроксимации краевой задач вязкой несжимаемой жидкости в естественных переменных «скорость-давление».
Научная новизна
- на основе известной разностной схемы разработан численный алгоритм реализации решения двумерной задачи несжимаемой жидкости.
- полученный численный алгоритм апробирован и математически обоснован на примере решения тестовой задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой;
- проведены численные эксперименты для проверки и анализа полученных результатов. Приводятся результаты расчетов исследуемой задачи гидродинамики для различных значений числа Рейнольдса Re=100, 500, 1000, 2000.
Основные результаты и положения данной работы приведены с полными и подробными доказательствами, основанными на известных результатах теории краевых задач и численных методов решения дифференциальных уравнений. Достоверность полученных результатов обеспечена тестированием предложенного эффективного алгоритма на стандартной тестовой задаче о движении вязкой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой.
Теоретическая и практическая значимость исследования.
Полученные в работе результаты и методы их получения могут быть полезными для исследования краевых задач дифференциальных уравнений и для уравнений гидродинамики и являются дальнейшем развитием теории численного решения краевых задач дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения применяются для описания многих производственных процессов. Трудно представить какую-либо область науки или производства, в которой не возникала необходимость использования дифференциальных уравнений. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д.
Вообще теория дифференциальных уравнений находится как бы на перекрестке математических дорог. С одной стороны, новые важные достижения в топологии, алгебре, функциональном анализе, теории функций и других областях математики сразу же приводят к прогрессу в теории дифференциальных уравнений и тем самым находят путь к приложениям. С другой стороны, проблемы физики, сформулированные на языке дифференциальных уравнений, вызывают к жизни новые направления в математике, приводят к необходимости совершенствования математического аппарата, дают начало новым математическим теориям, имеющим внутренние законы развития, свои собственные проблемы.
В магистерской диссертации рассмотрены краевые задачи для однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Описана общая постановка краевой задачи. Подробно излагаются краевые условия первого, второго и третьего рода с их геометрической интерпретацией. Также кратко охарактеризованы методы решения дифференциальных уравнений: графические, аналитические, приближенные и численные.
Во втором разделе рассматриваются численные методы решения дифференциальных уравнений - метод конечных разностей, метод прогонки. Третий же раздел полностью посвящен численному моделированию движения вязкой несжимаемой жидкости.
Широкий круг проблем, стоящих перед современной наукой и техникой, связан с изучением движения жидкости. В последнее время интенсивно развиваются методы численного решения уравнений гидродинамики. Именно эти методы и составляют теперь, наряду с физическим экспериментом, главные инструменты исследования задач математической физики.
По проведенным исследованиям основные выводы сводятся к следующему:
- на основе известной разностной схемы разработан численный алгоритм для решения системы уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в переменных «скорость-давление»;
- составлена программа на языке программирования Compaq Visual Fortran 6.5 для численной реализации алгоритма решения двумерной задачи несжимаемой жидкости;
- полученный численный алгоритм апробирован и математически обоснован на примере решения тестовой задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой;
- графически представлены и обоснованы результаты решения поставленной задачи гидродинамики.
Полученные результаты имеют теоретическую и практическую значимость. Составленный численный алгоритм и программу его реализации можно применять для исследования задач, связанных с течением вязкой несжимаемой жидкости, а также полученные результаты могут применяться в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов технических и математических специальностей.
Вообще теория дифференциальных уравнений находится как бы на перекрестке математических дорог. С одной стороны, новые важные достижения в топологии, алгебре, функциональном анализе, теории функций и других областях математики сразу же приводят к прогрессу в теории дифференциальных уравнений и тем самым находят путь к приложениям. С другой стороны, проблемы физики, сформулированные на языке дифференциальных уравнений, вызывают к жизни новые направления в математике, приводят к необходимости совершенствования математического аппарата, дают начало новым математическим теориям, имеющим внутренние законы развития, свои собственные проблемы.
В магистерской диссертации рассмотрены краевые задачи для однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Описана общая постановка краевой задачи. Подробно излагаются краевые условия первого, второго и третьего рода с их геометрической интерпретацией. Также кратко охарактеризованы методы решения дифференциальных уравнений: графические, аналитические, приближенные и численные.
Во втором разделе рассматриваются численные методы решения дифференциальных уравнений - метод конечных разностей, метод прогонки. Третий же раздел полностью посвящен численному моделированию движения вязкой несжимаемой жидкости.
Широкий круг проблем, стоящих перед современной наукой и техникой, связан с изучением движения жидкости. В последнее время интенсивно развиваются методы численного решения уравнений гидродинамики. Именно эти методы и составляют теперь, наряду с физическим экспериментом, главные инструменты исследования задач математической физики.
По проведенным исследованиям основные выводы сводятся к следующему:
- на основе известной разностной схемы разработан численный алгоритм для решения системы уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в переменных «скорость-давление»;
- составлена программа на языке программирования Compaq Visual Fortran 6.5 для численной реализации алгоритма решения двумерной задачи несжимаемой жидкости;
- полученный численный алгоритм апробирован и математически обоснован на примере решения тестовой задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой;
- графически представлены и обоснованы результаты решения поставленной задачи гидродинамики.
Полученные результаты имеют теоретическую и практическую значимость. Составленный численный алгоритм и программу его реализации можно применять для исследования задач, связанных с течением вязкой несжимаемой жидкости, а также полученные результаты могут применяться в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов технических и математических специальностей.
