1 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 7
1.1 Общая постановка краевой задачи 7
1.2 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка 10
1.3 Методы решения дифференциальных уравнений 12
2 НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ГИДРОДИНАМИКИ 14
2.1 Метод конечных разностей 14
2.2 Разложение функции в ряд Тейлора 21
3.3 Метод прогонки 23
3 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 26
3.1 Методика проведения численного эксперимента 26
3.2 Постановка задачи и основные уравнения 28
3.3 Алгоритм для нахождения горизонтальной компоненты вектора
скорости U 31
3.4 Алгоритм для нахождения вертикальной компоненты вектора скорости
V 34
3.5. Алгоритм для нахождения давления 37
3.6 Алгоритм для нахождения температуры 39
3.7 Результаты вычислительного процесса 42
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 50

Купить

РЕФЕРАТ
В данной магистерской диссертации исследованы конечно¬разностные методы для решения краевых задач. Разработан алгоритм реализации двумерной задачи несжимаемой жидкости, а также апробирован метод решения системы несжимаемой жидкости в переменных скорость- давление на примере решения стандартной тестовой задачи о движении вязкой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой.
При изучении движения несжимаемой жидкости необходимо наличие программных реализаций приближенных моделей, с помощью которых можно получить предварительное представление о характере течения.
Перспективным направлением современной вычислительной гидродинамики является моделирование нестационарных, несжимаемых, ламинарных течений, описываемых уравнениями несжимаемой жидкости. Решение математических моделей нестационарных, несжимаемых, ламинарных течений в настоящее время стало более актуальным как в связи с развитием численных методов расчета таких течений, в так называемых естественных переменных «скорость-давление», так и в связи с возможностями высокопроизводительной вычислительной техники.
Магистерская диссертация изложена на 55 страницах машинописного текста. Работа состоит из введения, трех разделов, изложения, заключения и списка литературы. Данная работа содержит 6 рисунков. Список использованных источников содержит 48 наименования.
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Она состоит из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.
Математическое моделирование процессов становиться одним из наиболее распространенных методов исследования объектов и явлений различной природы. Широкий круг задач, стоящих перед современной наукой и техникой, связан с решением уравнений движения жидкости.
Поэтому актуальной задачей является разработка и программная реализация вычислительного алгоритма, позволяющего решить систему уравнений для вязкого несжимаемого нестационарного течения жидкости.
Цель исследования - разработка эффективного алгоритма для решения системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости в переменных «скорость- давление» и составление программы для его численной реализации.
Задачи исследования:
- исследовать конечно-разностные методы для решения краевых задач.
- рассмотреть явные и неявные схемы для решения уравнений несжимаемой жидкости.
- разработать алгоритм реализации двумерной задачи несжимаемой жидкости
- составить программу для численной реализации алгоритма решения двумерной задачи несжимаемой жидкости на языке программирования Compaq Visual Fortran 6.5.
- апробировать метод решения системы уравнений несжимаемой жидкости в переменных скорость-давление на примере решения стандартной тестовой задачи о движении вязкой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой.
Объектом исследования магистерской диссертации являются краевые задачи дифференциальных уравнений и математический аппарат теории разностных схем.
Предметом исследования являются разностные схемы, получаемые при аппроксимации краевой задач вязкой несжимаемой жидкости в естественных переменных «скорость-давление».
Научная новизна
- на основе известной разностной схемы разработан численный алгоритм реализации решения двумерной задачи несжимаемой жидкости.
- полученный численный алгоритм апробирован и математически обоснован на примере решения тестовой задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой;
- проведены численные эксперименты для проверки и анализа полученных результатов. Приводятся результаты расчетов исследуемой задачи гидродинамики для различных значений числа Рейнольдса Re=100, 500, 1000, 2000.
Основные результаты и положения данной работы приведены с полными и подробными доказательствами, основанными на известных результатах теории краевых задач и численных методов решения дифференциальных уравнений. Достоверность полученных результатов обеспечена тестированием предложенного эффективного алгоритма на стандартной тестовой задаче о движении вязкой жидкости в замкнутой квадратной полости с движущейся верхней крышкой.
Теоретическая и практическая значимость исследования.
Полученные в работе результаты и методы их получения могут быть полезными для исследования краевых задач дифференциальных уравнений и для уравнений гидродинамики и являются дальнейшем развитием теории численного решения краевых задач дифференциальных уравнений. 

Купить