Введение 3
ГЛАВА 1. Преобразование Лапласа 5
1.1 Возникновение операционного исчисления 5
1.2 Начальная функция и ее изображение 12
1.3. Свойства преобразований Лапласа 16
ГЛАВА 2. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем 23
2.1 Вспомогательное уравнение для данного уравнения 23
2.2 Примеры решения дифференциальных уравнений и систем
дифференциальных уравнений операционным методом 26
2.3 Приложения операционного исчисления 32
Заключение 39
Список использованной литературы
Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.
Операционное исчисление - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.
Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко - Захарченко и А. В. Летникова.
Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.
Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t)переходят к уравнению относительно другой функции F(p),называемой изображением f(t).Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое. Решая его относительно изображения F(p)и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.
Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией - сложением.
Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:
1) таблица оригиналов и соответствующих им изображений;
2) знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.
Цель выпускной квалификационной работы: изучить
операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
1. изучить преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа;
2. применить операционное исчисление к решению дифференциальных уравнений и систем.
Объект исследования: операционное исчисление.
Предмет исследования: операционный метод решения дифференциальных уравнений.
Методы исследования: изучение и анализ литературы по теме исследования, сравнение, обобщение.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.
В данной выпускной квалификационной работе рассматривался операционный метод решения дифференциальных уравнений как один из важнейших способов решения прикладных задач. Этот метод решения широко применяется в современном мире.
Целью работы было изучение операционного метода решения линейных уравнений, которую мы достигли, решив следующие задачи:
1. изучить преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа;
2. применить операционное исчисление к решению дифференциальных уравнений и систем.
Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; также его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Операционное исчисление - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. Поэтому операционные методы используются там, где классические методы не эффективны. Они применяются в физике, электротехнике, радиотехнике, механике, теории автоматического регулирования и т.д.
