Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


КВАТЕРНИОНЫ, ИХ МОДЕЛИ И ПРИМЕНЕНИЕ

Работа №87698
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы54
Год сдачи2013
Стоимость4280 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 10
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

Введение
Глава I. Числовые системы.
1.1. Система действительных чисел.
1.2. Система комплексных чисел.
Понятие о комплексных числах
1.3. Алгебры над полем действительных чисел
1.4. Кватернионы
Глава II. Приложения кватернионов.
2.1. Геометрический смысл умножения произвольного кватерниона на чисто векторный кватернион.
2.2. Представление произвольного поворота в пространстве с помощью кватернионов.
2.3. Вращение трехмерного евклидова пространства
2.4. Вращения четырехмерного пространства.
Заключение.
Список использованной литературы

Актуальность исследования: Комплексные числа удобно отождествлять с точками плоскости, поскольку они имеют две координаты - вещественную часть и мнимую. По аналогии с комплексными числами, Гамильтон долго пытался построить «трехмерные числа», т.е. наделить точки трехмерного пространства естественными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими некоторым естественным свойствам. Однако, ему это не удалось. Более того, в некотором естественном смысле, таких «хороших» операций не существует. Все же поиски были не бесполезны. В результате своих поисков Гамильтон наткнулся на замечательную и естественную конструкцию «четырехмерных» чисел - кватернионов.
Кватернионы являются расширением поля действительных и комплексных чисел, которые используются в ряде разделов математики, представляет интерес свойства расширений. Своим открытием и названием сам кватернион обязан ирландскому математику У.Р. Гамильтону (1805-1865).
От кватернионов ожидали таких же результатов, как от комплексных чисел, и даже больше. И действительно, с помощью исчисления кватернионов были обнаружены совершенные в их математической красоте формулы, описывающие ряд важных физических явлений. Но дальнейшие надежды на развитие алгебраического и функционального исчисления кватернионов не оправдались.
Но в конце XX века начинают активно развиваться прикладные науки, появляются машины, для описания движения которых ученые были вынуждены вновь обратиться к забытым кватернионам. Кватернионы снова получили признание, когда стала известна их роль в построении различных геометрических преобразований пространства, используемых в квантовой физике и других науках.
Тема нашей дипломной работы: «Кватернионы, их модели и применение».
Цель работы: рассмотреть свойства кватернионов, возможности их применения.
Объект исследования: конечномерные алгебры.
Предмет исследования: тело кватернионов.
Методы исследования: общеалгебраические методы.
Задачи исследования: 1. Изучение свойств расширений.
2. Рассмотрение свойств кватернионов.
3. Познакомиться с применением кватернионов в геометрии.
Апробация результатов исследования в форме доклада на предварительной защите в ЕИ КФУ на кафедре математического анализа, алгебры и геометрии.
Структура и объем работы: Дипломная работа состоит из двух глав. Первая глава «Числовые системы» включает четыре пункта, вторая глава «Приложения кватернионов» также состоит из четырёх пунктов.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


В нашей дипломной работе мы рассмотрели различные системы «чисел», которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя «мнимых единиц». В I главе мы изучили систему действительных и комплексных чисел, их свойства, также рассмотрели алгебры над полем действительных чисел. Изучили четырехмерную действительную ассоциативную алгебру с делением называемую алгеброй кватернионов.
Множество кватернионов обладает всеми свойствами алгебры размерности 4 (по числу базисных единиц), в нем заданы операции умножения на действительное число, сложения и умножения кватернионов.
Во многом эта алгебра близка алгебрам действительных и комплексных чисел. Она ассоциативна по сложению и умножению, дистрибутивна, имеет единицу (действительная единица); в ней определены вычитание и деление.
Но алгебра кватернионов уже сильно отличается от алгебр меньших размерностей. Она некоммутативна по умножению и в силу этого, несмотря на «высокое качество» свойств, множество всех кватернионов является не полем, а телом - некоммутативным кольцом с делением.
Одна из важнейших отличительных черт алгебры кватернионов состоит в том, что она является последней по числу размерностей ассоциативной алгеброй с единицей и с делением. Доказали следующую теорему, называемая теоремой Фробениуса:
Алгебра А над полем R является алгеброй с делением конечного ранга тогда и только тогда, когда
А= R и А=С и А=К.
Во II главе мы разобрали геометрический смысл умножения кватерниона на векторный кватернион, представление поворота с помощью кватерниона в пространстве, рассмотрели вращение трехмерного и четырехмерного евклидова пространства.
Задачи и цели, которые были поставлены в введении были рассмотрены и достигнуты.



1. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре / А.Г.Курош. - СПб.: Изд. «Лань», 1984. - 427 с.
2. Нечаев В.И. Числовые системы / В.И.Нечаев. - М.: Просвещение, 1975. - 199 с.
3. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел / Л.С.Понтрягин. - М.: Наука, 1986. - 120 с.
4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб.пособие для пед.институтов / Л.Я.Куликов. - М.: Высшая школа, 1979. - 559с.
5. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа / И.Л.Кантор, А.С.Солодовников. - М.: Высшая школа, 1973. - 144 с.
6. Виноградов И.М. Основы теории чисел / И.М.Виноградов. - Москва
- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. - 176 с.
7. Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов / В.И.Арнольд. - М.: Фантазия, 2002. - 40 с.
8. Конвей Дж., Смит Д. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях / Дж.Конвей, Д.Смит / Пер.с англ.
С.М.Львовского. - М.: МЦНМО, 2009. - 184 с.
9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. - Изд. «Наука», 1968. - 427 с.
10. Ларин С.В. Числовые системы / С.В.Ларин. - Изд. «Академия»,
2001. - 160 с.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.



Подобные работы


© 2008-2022 Cервис помощи студентам в выполнении работ