Введение 3
Обзор известных результатов по неравенствам типа Харди 4
1.1 Неравенства для сумм 4
1.2 Интегральные неравенства 7
1.3 Пространственные аналоги 13
Глава 2. Весовые интегральные неравенства типа Харди 15
2.1 Неравенства в одномерном случае 15
2.2 Многомерные аналоги 20
Заключение 24
Литература
Дипломная работа посвящена весовым интегральным неравенствам типа Харди в областях евклидова пространства. Неравенства данного типа применяются при решении задач математики и математической физики. Примеры использования неравенств Харди можно увидеть в работах С.Л. Соболева [10], Ю.А. Дубинского [7], Ф.Г. Авхадиева [4]. Например, С.Л. Соболев применял неравенства типа Харди в теории вложений функциональных пространств, а также при оценке потенциала Рисса [10].
Неравенствам типа Харди посвящено множество работ (см. [1] - [14]). Неравенства такого вида в одномерном случае объединяют функцию и её производную, а в многомерном случае функцию и модуль её градиента.
В главе 1 приведен обзор известных дискретных, интегральных и пространственных неравенств типа Харди. Мы приводим известные неравенства с подробными доказательствами.
В главе 2 получены новые одномерные и многомерные неравенства типа Харди, весовые функции которых имеют логарифмическую особенность. Сначала мы докажем одномерные неравенства и с помощью метода [2], [3], разработанного Ф.Г. Авхадиевым, переходим к пространственным неравенствам. В многомерных неравенствах интегрирование ведется по произвольной открытой области, вместо производной используется модуль градиента.
В выпускной квалификационной работе получены новые весовые интегральные неравенства типа Харди в областях евклидова пространства. Доказаны новые одномерные неравенства и получены их многомерные аналоги. Были приведены дискретные и интегральные аналоги теоремы Харди и их доказательства [11]. При переходе к пространственному случаю мы использовали метод Ф.Г. Авхадиева [2],[5].
