Тема: ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

При исследовании свойств различных динамических систем в настоящее время получил актуальность подход, основанный на анализе сигналов, произведенных системой. Такой метод применим в тех случаях, когда сам процесс математически описать практически невозможно, однако есть возможность наблюдать некоторую величину. Например, электрокардиограмма, запись колебаний земной коры, данные метеонаблюдений, биржевой курс, солнечная активность и т.п. Поэтому такой анализ часто реализуется путем обработки фиксируемых сигналов. Изменение со временем некоторой переменной называется (скалярным) временным рядом, а если измеряется несколько переменных — векторным, метод называется реконструкцией динамических систем, а раздел теории динамических систем — анализом временных рядов [1, 2, 3]. Временные ряды естественным образом возникают в эксперимента как натурных (тогда получается непрерывный ряд y(t)), так и численных (тогда получается дискретный ряд). Конечно, наличие только лишь наблюдаемых данных усложняет процесс изучения системы по сравнению с тем случаем, когда имеется полное ее решение. Поэтому необходимо вводить дополнительные ограничения при реализации метода реконструкции [4].
Скалярным временным рядом xi, ...,XNназывается массив из Nчи¬сел, которые представляют собой значения некоторой наблюдаемой динамической переменной x(t) с постоянным по времени шагом т , где ti= to + (i — 1)т, xi= x(ti),i = 1,..., N. При анализе временных рядов выделяются две основные задачи, первая из которых — задача идентификации, а вторая — задача прогноза. Задача идентификации заключается в нахождении таких параметров системы, породившей данный временной ряд, как размерность вложения, корреляционная размерность, энтропия и др. Размерностью вложения называется наименьшее число независимых переменных, которые однозначно определяют установившееся движение исходной диссипативной распределенной системы. Обычно размерность вложения обозначают как d.Подмножество, к которому с течением времени стягиваются все близлежащие траектории системы — это аттрактор [1, 5, 6]. Размерность вложения аттрактора — это минимальная размерность фазового пространства, в которое без самопересечений может быть помещено гладкое многообразие, целиком содержащее этот аттрактор. Например, двумерный тор вложим только в трехмерное пространство и пространство большей размерности. Корреляционная размерность является оценкой фрактальной размерности аттрактора системы и частным случаем обобщенной вероятностной размерности. Понятие энтропии связано с предсказуемостью значений ряда и всей системы.
Исследование временных рядов основано на идее, что для получения удовлетворительной геометрической картины странного аттрактора, вместо входящих в исходную систему переменных можно использовать векторы задержек наблюдаемой z;= (x;, xi+1,..., xi+m_i). Впервые данный подход к анализу временных рядов был математически обоснован в работе Ф.Такенса [7]. То есть наиболее интересным приложением теории динамических систем может являться прогнозирование динамики временных рядов, порождаемых ими. При этом предполагается, что характеристики систем могут быть неизвестны. Таким образом, теоретические исследования, основанные на анализе временных рядов, могут дать мощный инструмент для понимания многих явлений, особенно когда имеющихся данных для построения модели может быть недостаточно.
Постановка задачи
• Исследование динамики движения звезды на примере стационарной ротационно-симметричной модели галактики для некоторых фиксированных наборов параметров и начальных данных. Генерация псевдоэкспериментальных данных.
• Реконструирование аттрактора методом Такенса по временному ряду псевдоэкспериментальных данных одной наблюдаемой переменной, соответствующего основному аттрактору исходной системы.
• Определение старшего показателя Ляпунова с использованием метода Вольфа по временным рядам псевдоэкспериментальных данных рассмотренной модели галактики (на основе восстановленных аттракторов).
Купить

Исследование динамики реальных процессов и явлений зачастую начинается с накопления экспериментальных данных в виде временных рядов. В последующем значения этих временных рядов должны быть обработаны с целью выявления в них каких-либо важных динамических характеристик, присущих наблюдаемому процессу. Одной из таких характеристик является мера экспоненциальной скорости разбегания траекторий движений, начавшихся в достаточно малой окрестности — старший показатель Ляпунова. Положительные значения старшего показателя Ляпунова отвечают хаотическим типам движений динамических систем, анализ которых особенно затруднителен. Тем самым, определение возможной меры хаоса в экспериментальных данных является весьма важной и интересной задачей.
Основные результаты представленной дипломной работы:
• Изучен и отработан на примере модели Лоренца алгоритм Такенса реконструкции аттрактора динамической системы по одному временному ряду экспериментальных данных.
• Методом Вольфа, по временным рядам псевдоэкспериментальнам данных для системы Лоренца (с определённым набором параметров и начальной точкой), был продублирован расчёт старшего показателя Ляпунова.
• На примере одной модели динамики движения звезды при стационарном ротационно-симметричном потенциале ' была произведена генерация псевдоэкспериментальных данных для ряда ключевых наборов параметров рассмотренной системы.
• По полученным временным рядам была произведена соответствующая реконструкция аттракторов, отвечающих основной динамике движения звезды в этой модели. Показана эквивалентность реконструированных аттракторов с реальными.
• Методом Вольфа по временным рядам псевдоэкспериментальных данных рассчитаны старшие показатели Ляпунова, правильнол
Таким образом, показана возможность идентификации меры хаотического поведения в траекториях ротационно-симметричной модели движения звезды по наблюдаемым данным временных рядов.

Купить