ВВЕДЕНИЕ 4
0.1 Современное состояние темы и актуальность 4
0.2 Цель и научная новизна 7
1. СПЕКТРАЛЬНО-НАГРУЖЕННЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ 10
1.1 Полупериодическая граничная задача 11
1.1.1 Постановки граничных задач 11
1.1.2 Теоремы единственности и существования сильного решения 13
1.1.3 Сопряженная задача 20
1.2 Одномерное обобщение граничной задачи 2 23
1.3 Многомерное обобщение граничной задачи 2 24
1.3.1 Постановка задачи 24
1.3.2 Представление и априорная оценка классического решения 24
1.3.3 Q - единичный круг 29
1.3.4 Q - единичный шар 30
1.4 О точечном спектре 36
1.4.1 Обобщенная спектральная задача 1 37
1.4.2 Обобщенная спектральная задача 2 42
1.5 О нагруженных дифференциально-операторных уравнениях первого
порядка 44
О спектре нагруженного дифференциального оператора первого порядка 45
1.5.2 О нагруженных уравнениях с периодическими граничными
условиями 54
2. ЗАДАЧА КОШИ С НАГРУЗКОЙ ПО ВРЕМЕНИ 61
2.1.2 О размерности ядра оператора, соответствующего задаче Коши.... 62
2.1.3 Класс и критерий однозначной сильной разрешимости 66
2.2 Задача Коши-Дирихле на четверти плоскости 67
2.2.1 Постановка задачи 68
2.2.2 О размерности ядра оператора 68
2.2.3 Класс икритерий однозначнойсильной разрешимости 72
2.3 Задача Коши-Дирихле на полуполосе 74
2.3.1 Постановка задачи 74
2.3.2 О размерности ядра 75
2.3.3 Класс и критерий однозначной сильной разрешимости 79
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 82
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 84
ПРИЛОЖЕНИЕ
Неуклонно растущий интерес к изучению нагруженных дифференциальных уравнений объясняется, во-первых, расширяющимся объёмом их приложений и тем фактом, что нагруженные уравнения составляют особый класс уравнений со своими специфическими задачами.
Изучаются однородные и неоднородные краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений математической физики.
Заданное в п—мерной области — евклидова пространства точек x = (xi, x2,..., xn) уравнение
Au(x) = f (x) (0.1.1)
называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения u(x) на принадлежащих замыканию — многообразиях размерности < п.
Нагруженное уравнение (0.1.1) называется нагруженным дифференциальным уравнением в области — 2 Rn, если его можно представить в виде
Au = Lu(x) + Mu(x) = f (x), (0.1.2)
где L - дифференциальный оператор, а M - дифференциальный или интегродифференциальный оператор, включающий операцию взятия следа от искомого решения u(x) на принадлежащих — многообразиях ненулевой меры строго меньше п.
Например, к простейшему уравнению вида (0.1.2) приводит задача о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенными массами, которая находит широкое применение в физике и технике. Ещё Пуассон решал задачу о продольном движении груза, подвешенного к упругой нити. А.Н. Крылов показал, что к этой задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода дрожащих клапанов. Для теории многих измерительных приборов важно изучение крутильных колебаний нити, к концу которой подвешена масса, например, зеркальце.
Подобного типа задачи приобрели особую актуальность в связи с изу¬чением устойчивости вибраций крыльев самолёта, так как для решения этой задачи необходимо вычисление собственных частот крыла (балки переменного сечения), нагруженного массами (моторами). Помимо это¬го, такие задачи встречаются при расчёте собственных колебаний антенн, нагруженных сосредоточенными ёмкостями и самоиндукциями.
Также необходимо отметить, что решение многих задач по оптимальному управлению агроэкосистемой, например, задач долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, сводятся к изучению уравнений вида (0.1.2). Такого рода уравнения, естественным образом, возникают при исследовании нелинейных уравнений, уравнений переноса частиц, задач оптимального управления, обратных задач, при численном решении интегродифференциальных уравнений, при эквивалентном преобразовании нелокальных краевых задач и т.д.
Основные вопросы, возникающие в теории граничных задач для уравнений в частных производных, остаются таковыми же и для краевых задач для нагруженных уравнений вида (0.1.2). Однако, наличие нагруженного оператора M не всегда позволяет без изменений применять известную теорию краевых задач для уравнений вида
Lw(x) = f (x); x 2 Q. (0.1.3)
Например, один из центральных вопросов - вопрос о корректном выборе функциональных пространств решения задач (0.1.3), когда L - является оператором гиперболического, параболического, эллиптического или смешанного типа, достаточно подробно исследован в работах многих математиков. Так как уравнения с частными производными образуют сегодня огромную и необозримую область математики и математической физики, использующую методы всей остальной математики, то мы естественно сможем указать лишь небольшую часть этих работ: С.Л. Соболева, С.М. Никольского, М.И. Вишика, В.С. Владимирова, О.А. Ладыженской, Ж.-Л. Лионса, П Гривара, В.А. Солонникова, и многих других математиков. Однако, как отмечено выше, эти результаты не всегда применимы к нагруженным уравнениям вида (0.1.2).
По всей видимости, первые исследования по нагруженным уравнениям были проведены для нагруженных интегральных уравнений, то есть для уравнений вида (0.1.2), где L - интегральный оператор, оператор M также интегральный, но взятый по многообразиям размерности строго меньше п. Здесь уместно отметить работы A. Knezer, L. Lichtenstein, Н.М., А.Н.Крылова и более поздние, А.Ш. Габиб-заде, Н.Н. Назарова, C.W. Bitzer, М.Г. Крейн, W. Gibson, J. Groh, C.S. HOnig, А.С. Калитвина .
1. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости полупериодических (периодических по временной переменной) задач в ограниченной области для спектрально-нагруженных по пространственной переменной параболических уравнений, когда порядок производной в нагруженном слагаемом равен и выше порядка дифференциальной части уравнения.
2. Получен критерий однозначной сильной разрешимости для многомерного обобщения полупериодической граничной задачи (область - п—мерный шар) для спектрально-нагруженного по пространственной переменной параболического уравнения, когда порядок производной в нагруженном слагаемом выше порядка дифференциальной части уравнения.
3. Найден счетный точечный спектр полупериодической граничной задачи для спектрально-нагруженного по пространственной переменной параболического уравнения в ограниченной области. Показано, что спектр расположен на строго описываемой кривой комплексной плоскости значений спектрального параметра.
4. Показано, что для нагруженного дифференциально - операторного уравнения первого порядка спектральный параметр А принадлежит одному из следующих множеств: резольвентному множеству, точечному спектру или непрерывному спектру.
5. Доказана теорема об однозначной сильной разрешимости граничной задачи для нагруженного линейного дифференциально - операторного уравнения высокого порядка с периодическими граничными условиями.
6. Показано, что первая краевая задача для спектрально-нагруженного параболического уравнения в четверти плоскости, когда нагрузка задаётся по пространственной переменной и, при этом, точка нагрузки движется с постоянной или с переменной скоростью является нетеровой. Доказано, что индекс задачи определяется непосредственно значением модуля спектрального параметра, то есть коэффициента при нагружен¬ном слагаемом. Доказаны теоремы о разрешимости этой и сопряженной к ней задачи, в естественным образом введенных, функциональных классах.
7. Найдены критерии и определены классы сильной однозначной раз-решимости граничных задач (Коши, Коши - Дирихле, Дирихле) для спектрально-нагруженного параболического уравнения с фиксированной нагрузкой по временной переменной. Установлены размерности ядра оператора соответствующих задач.
8. Доказана теорема и некоторые следствия из неё , которые в тер¬минах данных, дают полное описание корректных граничных задач для нагруженного уравнения Лаврентьева - Бицадзе в прямоугольной обла¬сти.
9. Найдены условия существования единственного Ь2-сильного решения, удовлетворяющего на линии изменения типа уравнения, условиям непрерывности решения и непрерывности его производной по времени с логарифмическим весом, нелокальной граничной задачи для нагруженного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямо¬угольной области.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
