Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ НЕРАВЕНСТВ С МОДУЛЕМ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
1.1 Некоторые сведения из истории появления неравенств с модулем 7
1.2. Психолого-педагогические основы обучения школьников при
решении неравенств с модулем 8
1.3. Различные подходы к определению понятия абсолютная величина.
Геометрический смысл модуля. Свойства 11
1.4. Виды неравенств с модулем и способы их решения 14
ГЛАВА II. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ НЕРАВЕНСТВ С
МОДУЛЕМ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ 24
2.1. Анализ обучения неравенств с модулем в УМК по программе
основной школы 24
2.2. Методические особенности изучения темы «неравенства с
модулем» на уроках алгебры в 9 классе на базовом и повышенном уровнях. .. 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 52
ПРИЛОЖЕНИЕ
В различных разделах школьного курса математики, а также при изучении высшей математики и физики понятие модуль используется довольно часто. Например, в теории приближенных вычислений применяются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В математическом анализе понятие модуля содержится в определениях самых основных понятий, таких как предел, ограниченная функция и др. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Задачи, которые связаны с абсолютными величинами, довольно часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, на ОГЭ и ЕГЭ.
В программе основного общего образования по математике [33, с. 35] в разделе арифметика в теме «Рациональные числа» коротко записано: «Модуль (абсолютная величина) числа». Больше это понятие не упоминается ни в указанной программе, ни в программе среднего (полного) образования. Вводится понятие «модуль» в курсе математики шестого класса через его геометрический смысл, но не как унитарная операция на множестве чисел.
Далее в 6 классе модуль используется при сравнении чисел, при умножении и делении положительных и отрицательных чисел, а также приводится несколько простейших уравнений и неравенств с использованием модуля.
В последующих классах только в некоторых учебниках вводится повторно понятие модуля числа и модуля выражения, и проскакивают эпизодические простейшие задания с модулем, например, линейные уравнения с модулем, но и они приводятся изредка и бессистемно.
Можно сказать, что ситуация с изучением неравенств с модулем в средней школе близка к катастрофической. После окончания как основной, так и средней школы обучающимся предстоит пройти ГИА по математике, а во множестве заданий части 2 ОГЭ и части С ЕГЭ встречаются задания с модулем самого разного вида, причем такого уровня сложности, который и не мыслился ранее.
Актуальность рассматриваемой темы заключается именно в этом пробеле школьного образования, так как в теме «Модуль» практически отсутствует самое главное, переход от простейших заданий к очень трудным. А ведь модуль фантастическим образом меняет любую функцию, любое уравнение или неравенство, делает их не только более сложными, но и более интересными.
Кроме того, на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, а в последнее время и на Едином государственном экзамене, задания с модулем есть постоянно. Кто-то же должен научить школьников их решать, а это посильно осуществить и на школьных уроках математики, не прибегая к помощи репетиторов.
Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модуле и его свойствах, полученных обучающимися за весь период обучения. Актуальность, теоретическая и практическая значимость проблемы, ее недостаточная разработанность в литературе обусловили выбор темы дипломного проекта, определили его цель и задачи.
Проблема исследования: каковы особенности обучения решению неравенств с модулем.
Степень изученности проблемы. В настоящее время на страницах журнала «Математика в школе» и газеты «Математика» публикуется множество статей, посвященных теме «Модуль числа». Так Гуртова О.С. в своей статье «Решение неравенств с модулем в 9 классе делится опытом решения простейших неравенств на основании определения модуля числа, а Иванова Е.Ю. предлагает еще один способ решения неравенств, основанный на понятии расстояния. Для обучающихся 7-9 классов В.Ф. Чаплыгин в статье «Сравнение и классификация в упражнениях с «модулями»» демонстрирует способ, основанный на сравнении выражений, стоящих под знаком модуля, а Смоляков А. О. публикует интересный подбор заданий на тему: «Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля». Однако, проблему особенностей решения неравенств с модулем в средней школе эти авторы решали по отдельным аспектам, не соединив их в общую тему. Достаточно большой интересный опыт других педагогов, свои наработки мы попытались соединить в единую систему знаний по теме «Решение неравенств с модулем в средней школе».
Предмет исследования составляют методические основы изучения решений неравенств, содержащих знак модуля.
Объект исследования: неравенства с модулем.
Гипотеза: мы предполагаем, что систематическое использование различных способов для решения неравенств, содержащих абсолютную величину, приведет к повышению качества знаний по теме «Решение неравенств с модулем».
Целью дипломного проекта является разработка методики обучения решению неравенств, содержащих знак модуля в средней школе.
Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие задачи:
1. Изучить определение понятия абсолютная величина, геометрический смысл и ее свойства.
2. Определить психолого-педагогические основы обучения школьников при решении неравенств с модулем.
3. Рассмотреть различные виды неравенств с модулем и способы их решения.
4. Изучить состояние и перспективы развития темы «Неравенства с модулем» по отношению к школе.
5. Обосновать и разработать методику обучения теме «Неравенства с модулем» для уроков алгебры в 9 классе.
Теоретическая и методическая база исследования. Теоретической базой исследования являются научные труды, результаты фундаментальных и прикладных исследований современных отечественных и зарубежных специалистов в области математики. Исследование основывается на методологии системного подхода, методов логического и сравнительного анализа.
Информационной базой исследования послужили отечественные и зарубежные публикации в переводе, различные справочные материалы, материалы конференций по исследуемой проблематике.
Практическая значимость работы. Результаты исследования могут быть использованы учителями математики при обучении детей решению неравенств с модулем в средней школе.
Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.
Модуль - одна из самых интересных и многогранных тем в математике. При изучении материалов вступительных экзаменов (тестовые задания ЕГЭ и сборники для поступающих в Вузы), стало ясно, что многие из них содержат задания с модулем, но, эти задачи либо мало, либо вообще не представлены в учебниках для средних школ.
Завершая рассмотрение различных способов решения неравенств, содержащих знак модуля, еще раз отметим тот важный факт, что ни один из них не является универсальным и для получения наилучших результатов необходимо добиваться того, чтобы обучающиеся овладели как можно большим количеством методов решения, оставляя право выбора решения за собой.
Мы работали над проблемой обучения решению неравенств в средней школе. В результате изучения данной проблемы были решены поставленные перед нами задачи:
1. Изучили определение понятия абсолютная величина, геометрический смысл и ее свойства.
Аналитическое определение модуля:
а, если а > О,
а = 0, если а = О,
—а, если а < 0.
Геометрический смысл: |х| есть расстояние от точки x до нуля. Более общим образом, |х — а| есть расстояние от точки x до точки a.
Основные свойства модуля.
Для всех х,у ER.х>0, х=0<=>х = 0; —х = х; х-у = х ■ у ; =-у,у^0; х + у < х + у; с-х =с - х,прис>0; хп= хп ;
a — b>a — b; а — b < а — b .
2. Определили психолого-педагогические основы обучения школьников при решении неравенств с модулем.
В школьном обучении учебные предметы начинают выступать для подростков как особая область теоретических знаний. В то же время подросток стремится к самостоятельности в умственной деятельности. Но при встрече с трудностями возникают сильные отрицательные чувства, которые приводят к тому, что школьник не доводит до конца начатое дело. Учитывая это, следует разбить теоретический и практический материал при изучении темы «Неравенства с модулем» на различные уровни сложности, что мы и сделали.
3. Рассмотрели различные виды неравенств с модулем и способы их решения.
Виды неравенств: f х a, f(x) > д(х) ,f(x) >д(х).
Основные способы решения неравенств с модулем: метод последовательного раскрытия модулей, метод интервалов, метод решения при помощи зависимостей между числами, их модулями и квадратами этих чисел, геометрическая интерпретация модуля.
4. Изучили состояние и перспективы развития темы «Неравенства с модулем» по отношению к школе.
Мы изучили различные школьные учебники по математики. В каждом проанализированном учебнике задания, содержащие модуль, используются для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы. Очень редко предлагаются задания творческого характера, требующие от обучающихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях. Не во всех учебниках рассматривается графический и аналитический методы решения уравнений и неравенств с модулем.
5. Обосновали и разработали методику обучения теме «Неравенства с модулем» для уроков алгебры в 9 классе.
Цель внедрения данной методики заключается в стремлении повысить качество умения решать неравенства, содержащие абсолютную величину. Обучающиеся с помощью этой методики должны понять, что к каждому неравенству можно подобрать наиболее эффективный метод решения. На наш взгляд, это приведет к повышению качества обученности решению неравенств с модулем.
Таким образом, можно сделать следующий вывод: систематическое использование различных способов для решения неравенств, содержащих абсолютную величину, приведет не только к повышению интереса к математике, повышению творческой активности школьников, но и повысит уверенность детей в собственных силах, так как у них будет иметься возможность выбора того способа решения, который наиболее эффективен в каждом конкретном случае.
В ходе данного исследования мы пришли к выводу, что вполне реально на уроках выделить время для подготовки обучающихся к решению неравенств с модулем. Это возможно осуществить следующим способом: внедрить технику решения неравенств с модулем непосредственно после прохождения соответствующих тем решения линейных и квадратных неравенств.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
