ВВЕДЕНИЕ 3
1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ 5
1.1 Общая постановка задачи 5
1.2 Существующие методы нахождения экстремумов функций 7
1.3 Выбор среды разработки ПО 11
2. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 15
2.1. Метод половинного деления 15
2.2. Программная реализация метода половинного деления 17
2.3. Метод золотого сечения 18
2.4. Программная реализация метода золотого сечения 21
3. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ 23
3.1. Градиентный метод 23
3.2. Программная реализация градиентного метода 28
3.3. Метод Ньютона 30
3.4. Программная реализация метода Ньютона 32
4. ТЕСТИРОВАНИЕ ПО И ПРОВЕДЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ 35
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 43
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 44
ПРИЛОЖЕНИЕ 46
В настоящий время, в различных областях науки и техники, существует большое количество экстремальных задач. Задачи по нахождению экстремумов функций, часто встречаются в науке, экономике и технике. Умение переходить от содержательной постановки задачи к математической, даёт возможность для применения математических методов их анализа и решения. С помощью численных методов можно получить приближенной решение. В зависимости от метода, с помощью числа итерационных исчислений можно определить минимальное значение функции и точность расчета точки минимума.
Актуальность темы данной работы состоит в том, что использование численных методов упрощает алгоритм решения многомерных задач, а также дает возможность найти решение абсолютно всех классов экстремальных задач, появившихся в последнее десятилетие.
Целью данной работы является разработка программ некоторых методов нахождения численных значений экстремумов функций.
В процессе работы будут решены следущие задачи:
• Изучить и исследовать общую задачу;
• проанализировать характеристики различных численных методов, а также дать подробное описание метода половинного деления, метода золотого сечения, градиентного метода, метода Ньютона;
• осуществить программные реализации алгоритмов;
• изучить возможности пакета программирования Matlab по решению экстремальных задач;
• разработать программы в среде пакета программирования Matlab для нахождения экстремумов функции.
Объект исследования - задачи на нахождение экстремумов функции. Предмет исследования - численные методы решения (а именно метод половинного деления, метод золотого сечения, градиентный метод, метод 3
Ньютона) экстремальных задач, то есть задач на нахождение минимума и максимума функции.
Практическая значимость данной работы заключается в разработке программ в среде пакета программирования Matlab по нахождению экстремумов функции.
Для того чтобы достичь поставленной цели, разбираются некоторые мелкие задачи, которые решаются в процессе написания одной из глав.
В первой главе работы рассматривается теоретический обзор по обзоре состояния вопроса и задачи исследования, включаются в следующие:
• Общая постановка задачи.
• Существующие методы нахождения экстремумов функций.
• Выбор среды разработки ПО.
В второй главе работы рассматривается описание методов минимизации функций одной переменной, включаются в следующие:
• Метод половинного деления.
• Программная реализация метода половинного деления.
• Метод золотого сечения.
• Программная реализация метода золотого сечения.
В третьей главе работы рассматривается описание методов минимизации для функций нескольких переменных, включаются в следующие:
• Градиентный метод.
• Программная реализация градиентного метода.
• Метод Ньютона.
• Программная реализация метода Ньютона.
В четвертой главе представляет собой практическая часть, которая содержит:
• Создание ПО.
• Тестирование созданного ПО.
В выпускной квалификационной работе были получены следующие результаты:
• изучена и определена общая задача;
• исследованы характеристики различных численных методов;
• составлен алгоритм различных численных методов;
• исследованы возможности пакета программирования Matlab по решению экстремальных задач;
• выполнены программные реализации алгоритмы различных численных методов с помощью обеспечением программы GUI MATLAB (Graphical User Interface - MatrixLaboratory) для нахождения экстремумов функции.
Созданное ПО было протестировано на контрольных примерах, и может быть использовано для нахождения экстремумов функции.
В ходе выполнения выпускной квалификационной работы были приобретены практические и теоретические знания и навыки в области математики, а также создания приложения. Таким образом, задачи, поставленные в выпускной квалификационной работе, были выполнены, а цель - достигнута.
