Цель работы. Пусть Я и 5 — банаховы пространства, а операторы L g £(Я; и МG $). Введем в рассмотрение L-резольвентное множество
pL(M)= {м € С : (pL - му1 Е ОД; Я)}
и L-спектр aL(M)= С pL(M)оператора М. Если Я = а оператор L= I, то ¿-резольвентное множество pL(M) и ¿-спектр aL(M)станут просто резольвентным множеством и спектром оператора М. Не удивительно поэтому, что множество ¿/(М) и р(М) и ст (ЛР)) обладают рядом похожих свойств. В частности, ¿-резольвентное множество pL(M)всегда открыто, а ¿-спектр сг£(М) всегда замкнут.
Пусть crL(M) / 0, положим а^М) = {рG aL(M) : Rep >0}, = {р € aL{M) :Rep < 0}.
Пусть выполнено условие
^(_}(М) / 0, а£(М) U = crL(M).
Тогда при некоторых дополнительных условиях существуют проекторы ¿+(_) € £ (Я) на соответствующие подпространства Я+(_) (при этом не обязательно, что Р_ + Р+ = J и Я_ Ф Я+ = Я). Пусть Т € R - произвольное число. Диссертация посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Веригина
Р-и(0) = UQ, P+U(T)— ит- (1)
для линейного операторного уравнения Соболевского типа
- Lit = Ми + f (2)
в случаях (¿, а ^ограниченного, (¿,р)-секториального и (¿,р)- радиального оператора М.
Актуальность темы. Если положить Т = 0, то задача (1) превратится в прямое обобщение задачи Коши
«(0) = li0. (3) К задаче (3) для уравнения (2) редуцируются начально-краевые задачи для неклассических уравнений в частных производных.
Первым начально-краевые задачи для уравнений в частных производных, неразрешенные относительно старшей производной по времени, начал изучать С. Л. Соболев. В работе им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развили ученики С.Л. Соболева Р.А. Александрян и С.А. Гальперн. Их исследования охватывали линейные дифференциальные уравнения вида
Lu = Ми, (4)
где Lи М — дифференциальные операторы ”по пространственным переменным”.
Первым, кто начал изучать задачу (3) для абстрактного линейного операторного уравнения (4), были М.И. Вишик и независимо от него С.Г. Крейн и его ученики. В их работах был детально изучен случай (L, ^-ограниченного оператора М (в нашей терминологии) при условии фредгольмовости оператора L(т.е. indL = 0).
Показано, что фазовым пространством уравнения (4) служит некоторое подпространство в Я коразмерности равной размерности М-корневого пространства оператора L.Все работы имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений.
Первым абстрактные уравнения вида (2) в их связи с урав¬нениями в частных производных начал изучать R.E. Showalter. Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора L, вырождающегося на некотором множестве ненулевой меры. R.E. Showalter и независимо от него Н.А. Сидоров со сво¬ими учениками первыми начали изучать линейные уравнения вида (2) с различными вырождениями оператора Lи получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.
Задача Веригина в первоначальной постановке выглядит следующим образом. Предположим, что Я = 5 - гильбертово пространство, L - ограниченный самосопряженный оператор в Я. Пусть Но = ker Lи Я+(_) - инвариантное пространство, отвечающее положительной (отрицательной) части спектра оператора L.Пусть Р- (Р+) - соответствующие спектральные проекторы. Требуется для некоторого ТG R+ найти вектор- функцию и : [О, Т] —* Я, удовлетворяющую уравнению (2) и условиям (1), но в данном случае проекторы Р_ (Р+) имеют иной смысл, чем у нас.
Все результаты по уравнениям Соболевского типа можно весьма условно поделить на две части. К первой по традиции следует отнести работы, в которых объектом исследования являются уравнения и системы уравнений в частных производных, которые изучаются посредством коэрцитивных оценок. Основной результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты В.Н. Врагова и его учеников А.И. Кожанова, С.Г. Пяткова и других; А.П. Осколкова и его учеников; Г.В. Демиденко и многих других.
Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения вида (2), а конкретные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида (3), (4) служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова и ее ученики, Н.А. Сидоров и его ученики, R.E. Showalter, A. Favini, A. Yagi и многие другие.
' К этому же разделу следует отнести работы Г.А. Свиридюка и его учеников. В них тоже изучается однозначная разрешимость задачи Коши (3) для абстрактного операторного уравнения (2). Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является вы¬деление и изучение фазового пространства уравнения (2).
К настоящему времени задача Веригина для уравнений Со¬болевского типа изучена мало. Из результатов, обнаруженных в математической литературе, необходимо прежде всего отметить результаты С.Г. Суворова, где рассматривается вариационная постановка двухфазной задачи фильтрации с условиями Веригина на поверхности раздела. Оказывается, что в регулярном случае данный подход приводит ’’почти к решению” исходной задачи. Исследована также обобщенная разрешимость параболической задачи в нецилиндрических областях. Обсуждается возможность численной реализации вариационного метода. Кроме того, необходимо отметить работы А. А. Панкова и Т.Е. Панковой, в которых мы находим развитие результатов НН. Веригина и С.Г. Суворова.
Методы исследования. Для решения указанных выше задач используются методы функционального анализа и теории относительно сг-ограниченных, относительно р-секториальных и относительно р-радиальных операторов и порождаемыми ими аналитическими и сильно непрерывными вырожденными группами и полугруппами операторов.
При изучении начально-краевых задач для уравнений в частных производных мы используем стандартную технику, созданную на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных.
Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации являются достаточные условия существования единственного решения задачи (1) для уравнения (2) в случаях (£, а ^-ограниченности, (Д,7э)-секториальности и (Д,р)-радиальности оператора М. Отметим особо тот факт, что данная постановка задачи (1) до сих пор не встречалась.
Полученные результаты реализованы в конкретных начально¬краевых задачах для неклассических уравнений в частных про¬изводных. Все эти уравнения изучались и ранее, но начально-, краевые задачи для них были другими. Полученные нами результаты носят окончательный характер и повышают эвристическую ценность моделей.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы имеют теоретический характер. Найдены достаточные условия разрешимости задачи Веригина для линейных уравнений соболевского типа. Тем самым создана основа для изучения задачи Веригина для полулинейных уравнений. Полученные абстрактные результаты приложены к изучению начально-краевых задач для уравнения Баренблатта- Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова, линейного уравнения термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции ’’Дифференциальные и интегральные уравнения” (Одесса, 2000), на Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), на международной конференции ’’Дифференциальные и интегральные уравнения” (Челябинск, 1999), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Ростов-на-Дону, 2000), на семинаре кафедры математического анализа ЧГПУ и на семинаре проф. Г.А. Свиридюка.
Публикации. По теме диссертации опубликованно б работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография содержит 127 найменований работ российских и зарубежных авторов.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
