Введение 3
Глава I. Основные понятия 6
1.1. Простые числа 6
1.2. Делители чисел 8
1.3. Делимость 10
1.4. Признаки делимости 10
1.5. Свойства делимости 13
1.6. Деление с остатком 14
1.7. НОД и НОК 15
Глава II. Разработка элективного курса по математике «Гармония чисел» для 10 - 11 класса 19
2.1. Анализ учебных программ по математике 5 - 11 классов 19
2.2. Обзор учебников школьной программы 22
2.3. Программа элективного курса «Гармония чисел» для учащихся 10 - 11
класса 30
2.4. Циклы задач по элементам теории чисел 37
Заключение 50
Список использованных источников
Реформы математического образования, затрагивая содержание школьных программ, неизменным сохраняют некоторое ядро из тем, без которых учащиеся не получат полного представления о математике и ее методах. Данные темы концентрируют в себе математические знания, основами которых должен обладать человек в современном обществе, и которые используются как в повседневной жизни для решения возникающих на практике задач, так и для решения внутриматематических проблем и задач прикладного характера. К таким темам относятся некоторые разделы теории чисел.
Теория чисел - одна из древнейших математических теорий. Арифметические исследования послужили базой для создания ряда разделов математики и, в то же время, теория чисел использует аналитические, алгебраические, геометрические и многие другие методы для решения теоретико-числовых проблем.
Делимость - фундаментальное понятие алгебры, арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. Вопросами делимости чисел занимались еще математики Древней Греции. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Они делили множество натуральных чисел на классы, выделяя классы совершенных чисел, дружественных чисел, фигурных чисел, простых чисел и др.
В книге Евклида «Начала» содержится доказательство бесконечности множества простых чисел. Древнегреческий ученый Эратосфен нашел способ составления таблиц простых чисел, названный позднее «решето Эратосфена».
Вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль. Он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки.
Проблемами делимости чисел на уроках математики занимались многие математики и методисты: Ж. Адамар, В. Г. Болтянский, И.М. Виноградов, В. А. Далингер, Д. Пойа, Г. И. Саранцев, К. П. Сикорский, А. А. Столяр, П. Л. Чебышев и др.
В основном, элементы теории чисел в школьном курсе математики представлены в разделах «Делимость натуральных чисел», «Делимость чисел». Тема «Делимость чисел» включена в программу по математике для 5¬6 классов и почти не рассматривается в 7-11 классах. Хотя в контрольно-измерительных материалах государственной итоговой аттестации задачи по элементам теории чисел присутствуют, что делает необходимым включение таких задач в школьный курс алгебры 7-9 классов, старшей школы и обуславливает актуальность темы исследования.
Объект исследования: элементы теории чисел в школьном курсе математики.
Предмет исследования: организация обучения элементам теории чисел в школьном курсе математики.
Цель исследования -разработать программу элективного курса «Гармония чисел» для учащихся 10 - 11 класса.
Задачи исследования:
1. Проанализировать учебно-методическую литературу по теме
исследования.
2. Изучить нормативные документы.
3. Выявить глубину изучения элементов теории чисел в школьном курсе математики.
4. Рассмотреть основные понятия «Теории чисел», изучаемые в школьном курсе математики».
5. Разработать программу элективного курса «Гармония чисел».
6. Составить циклы задач по элементам теории чисел, реализующие внутрипредметные связи данной темы с основными темами школьного курса алгебры.
Методы исследования: теоретический анализ литературы; составление библиографии; конспектирование; аннотирование; цитирование; анализ нормативных документов; наблюдение; обобщение опыта работы действующих учителей; моделирование структуры методических
материалов.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, представлены объект, предмет исследования, изложены цели и задачи данной работы.
В первой главе изложен основной теоретический материал «Теории чисел», изучаемый в школьном курсе математики.
Во второй главе представлен анализ учебных программ 5-11 классов, обзор учебников школьной программы, а также программа элективного курса «Гармония чисел» для 10 - 11класса.
В заключении обобщены результаты работы, сделаны выводы.
Список литературы содержит 28 библиографических источника.
Решение заданий на делимость, прежде всего, связано с умением моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры. Поэтому в данной работе были рассмотрены примеры задач на делимость, для решения которых нужны были не только теоретические знания, но и умения строить математические модели.
Целью данной работы было выявление глубины изучения элементов теории чисел в школьном курсе математики и разработка программы элективного курса для учащихся 10 - 11 класса.
В первой главе «Основные понятия» представлен теоретический материал по следующим вопросам: основные понятия и свойства делимости; деление с остатком; простые и составные числа; НОД и НОК; количество и сумма делителей натурального числа; признаки делимости. Теоретический материал проиллюстрирован примерами. Всего рассмотрено11 примеров. В основном примеры взяты из сборников для подготовки к ЕГЭ.
Вторая глава носит практический характер. В ней проведен анализ учебных программ по математике 6 - 11 классов, обзор учебников школьной программы, разработана программа элективного курса для учащихся 10 - 11 класса, выделены типы заданий 19 из ресурсов [11], [15], [21]. Нами рассмотрены следующие типы: делимость целых чисел; НОД и НОК; разные текстовые задачи на числа. Для обучения школьников решать данные типы задания 19 предложены задания, которые могут рассматриваться в рамках факультативного курса по подготовке к ЕГЭ по математике (профильный уровень). Всего рассмотрено 14 заданий с решением для совместного обсуждения с учителем. Контроль за выполнением данных заданий предполагается организовать в дистанционной форме.
В процессе выполнения работы была достигнута поставленная цель - выявить глубину изучения элементов теории чисел в школьном курсе математики и разработать программу элективного курса для учащихся 10 - 11 класса, организована система подготовки школьников к решению задания 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Решены сформулированные в начале исследования задачи:
1. Описано математическое содержание темы «Элементы теоретичисел в школьном курсе математики».
2. Проанализированы учебные программы и учебники по математике.
3. Разработана программа элективного курса и циклы задач по элементам теории чисел, реализующие внутрипредметные связи данной темы с основными темами школьного курса алгебры.
Результаты данной работы могут быть применены учителями математики при проведении факультативных занятий со школьниками 10-11- х классов в процессе подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень), а также студентами математических факультетов в период прохождения педагогической практики.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
