Введение 3
§1. Уравнение Кортевега - де Фриза 15
§2. Метод Хироты для уравнения Кортевега - де Фриза 23
§3. Некоторые решения типа уединенной волны для нелинейного уравнения Адлера 27
Заключение 30
Список используемой литературы 31
Купить

Из школьного курса физики хорошо известно, что если в какой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом. При этом колебания, возбужденные в одном месте, распространяются в пространстве с определенной скоростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой.
Природа механизма распространения волны может быть различной. В простейшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены силами упругости, которые возникают из-за деформаций в среде. При этом в твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при которых смещения частиц среды осуществляются в направлении распространения волны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц перпендикулярны распространению волны. В жидкости или газе в отличие от твердых тел нет сил сопротивления сдвигу, поэтому могут распространяться только продольные волны. Хорошо известный пример продольных волн в природе - звуковые волны, которые возникают из-за упругости воздуха.
Среди волн иной природы особое место занимают электромагнитные волны, передача возбуждений у которых происходит из-за колебаний электрического и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитные волны, как правило, оказывает существенное влияние на процесс распространения волн, однако электромагнитные волны в отличие от упругих могут распространяться даже в пустоте. Связь между различными участками в пространстве при распространении таких волн обусловлена тем, что изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля и наоборот.
С явлениями распространения электромагнитных волн мы часто сталкиваемся в нашей повседневной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны, применение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи можно упомянуть работу радио и телевидения, которая основана на приеме радиоволн. К электромагнитным явлениям, только в другом частотном диапазоне, относится также свет, с помощью которого мы видим окружающие нас предметы.
Очень важным и интересным типом волн являются волны на поверхности воды. Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в детстве, и который обычно демонстрируется в рамках школьного курса физики. Однако, по выражению Ричарда Фейнмана, “более неудачного примера для демонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах”.
Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие этого явления со временем и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы смесь тех и других. С глубиной радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьшаются до тех пор, пока они не станут равными нулю.
Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее длины. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного падения, умноженному на длину волны. Причиной возникновения таких волн является сила тяжести.
Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна корню квадратному из частного, в числителе которого стоит коэффициент поверхностного натяжения, а в знаменателе - произведение длины волны на плотность воды. Для волн средней длины волны скорость их распространения зависит от перечисленных выше параметров задачи. Из сказанного ясно, что волны на воде и в самом деле довольно сложное явление.
Волны на воде издавна привлекали к себе внимание исследователей. Это связано с тем, что они представляют собой широко известное явление в природе и, кроме того, сопровождают перемещение судов по воде.
Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 году. Он занимался исследованием перемещения по каналу баржи, которую тянула пара лошадей. Неожиданно баржа остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды покатилась по каналу с большой скоростью в виде уединенного возвышения, не меняя своей формы и не снижая скорости.
На протяжении всей жизни Рассел неоднократно возвращался к наблюдению за этой волной, поскольку верил, что открытая им уединенная волна играет важную роль во многих явлениях в природе. Он установил некоторые свойства этой волны. Во-первых, заметил, что она движется с постоянной скоростью и без изменения формы. Во-вторых, нашел зависимость скорости C этой волны от глубины канала h и высоты волны a:
С = /д {a + h) ,
где g - ускорение свободного падения, причем a < h. В-третьих, Рассел обнаружил, что возможен распад одной большой волны на несколько волн. В-четвертых, он отметил, что в экспериментах наблюдаются только волны возвышения. Однажды он также обратил внимание, что открытые им уединенные волны проходят друг через друга без каких-либо изменений, как и малые волны, образованные на поверхности воды. Однако на последнее очень важное свойство он не обратил существенного внимания.
Работа Рассела, опубликованная в 1844 году как “Доклад о волнах”, вызвала осторожную реакцию в среде ученых. На континенте ее не заметили совсем, а в самой Англии на нее обратили внимание Г.Р. Эйри и Дж.Г. Стокс. Эйри подверг критике результаты экспериментов, которые наблюдал Рассел. Он отмечал, что из теории длинных волн на мелкой воде выводы Рассела не получаются, и утверждал, что длинные волны не могут сохранять неизменную форму. И в конечном итоге подверг сомнению правильность наблюдений Рассела. Один из основателей современной гидродинамики, Джордж Габриэль Стокс, также не согласился с результатами наблюдений, полученными Расселом, и критически отнесся к факту существования уединенной волны.
После столь негативного отношения к открытию уединенной волны долгое время о ней просто не вспоминали. Определенную ясность в наблюдения Рассела внесли Дж. Буссинеск (1872 год) и Дж.У. Рэлей (1876 год), которые независимо друг от друга нашли аналитическую формулу для возвышения свободной поверхности на воде в виде квадрата гиперболического секанса и вычислили скорость распространения уединенной волны на воде.
Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями и получили подтверждение.
В качестве математических моделей при описании распространения волн в различных средах часто используют уравнения в частных производных. Это такие уравнения, которые содержат в качестве неизвестных производные от характеристик рассматриваемого явления. Причем поскольку характеристика (например, плотность воздуха при распространении звука) зависит от расстояния до источника и от времени, то и в уравнении используются не одна, а две (а иногда и больше) производные. Простое волновое уравнение имеет вид
utt = с2ихх. (1)
Характеристика волны и в этом уравнении зависит от пространственной координаты x и времени t, а индексы у переменной и обозначают вторую производную от и по времени ( ) и вторую производную от и по переменной x (ихх). Уравнение (1) описывает плоскую одномерную волну, аналогом которой может служить волна в струне. В этом уравнении в качестве и можно принять плотность воздуха, если речь идет, например, о звуковой волне в воздухе. Если рассматривают электромагнитные волны, то под и следует понимать напряженность электрического или магнитного поля.
Решение волнового уравнения (1), которое впервые было получено Ж. Д’Аламбером в 1748 году, имеет вид
и (х, t) = f (х — ct) + д (х + ct) . (2)
Здесь функции f и g находят из начальных условий для и. Уравнение (1) содержит вторую производную от и по t, поэтому для него следует задавать два начальных условия: значение и при t = 0 и производную иt при t = 0.
Волновое уравнение (1) имеет очень важное свойство, суть которого заключена в следующем. Оказалось, что если взять два любых решения этого уравнения, то их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство отражает принцип суперпозиции решений уравнения (1) и соответствует линейности явления, которое оно описывает. Для нелинейных моделей это свойство не выполняется, что приводит к
существенным отличиям протекания процессов в соответствующих моделях. В частности, из выражения для скорости уединенной волны, которую наблюдал Рассел, следует, что ее значение зависит от амплитуды, а для волны, описываемой уравнением (1), такой зависимости нет.
Непосредственной подстановкой в уравнение (1) можно убедиться, что зависимость
и (х, t) = а с о s ( кх — а t) (3)
в которой а, к и т - постоянные, при a = + к является решением уравнения (1). В этом решении а - амплитуда, к - волновое число, а т - частота. Приведенное решение представляет собой монохроматическую волну, переносимую в среде с фазовой скоростью
На практике монохроматическую волну создать трудно, и обычно имеют дело с цугом (пакетом) волн, в котором каждая волна распространяется со своей скоростью, а скорость распространения пакета характеризуется групповой скоростью
_ ClOJ
СУ ~dk
определяемой через производную от частоты т по волновому числу к.
Определить, с какой (линейной или нелинейной) моделью имеет дело исследователь, не всегда легко, но когда математическая модель сформулирована, то решение этого вопроса упрощается и выполнение принципа суперпозиции решений можно проверить.
Возвращаясь к волнам на воде, заметим, что их можно анализировать используя хорошо известные уравнения гидродинамики, о которых известно, что они нелинейны. Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными. Только в предельном случае малых амплитуд эти волны могут считаться линейными. 
Отметим, что и распространение звука не во всех случаях описывается линейным уравнением. Еще Рассел при обосновании своих наблюдений по уединенной волне отметил, что звук от выстрела пушки распространяется в воздухе быстрее, чем команда произвести этот выстрел. Это объясняется тем, что распространение мощного звука описывается уже не волновым уравнением, а уравнениями газовой динамики.
Окончательная ясность в проблеме, которая возникла после опытов Рассела по уединенной волне, наступила после работы датских ученых Д.Д. Кортевега и Г. де Фриза, которые попытались разобраться в существе наблюдений Рассела. Обобщив метод Рэлея, эти ученые в 1895 году вывели уравнение для описания длинных волн на воде. Кортевег и де Фриз, используя уравнения гидродинамики, рассмотрели отклонение от положения равновесия поверхности воды при отсутствии вихрей и при постоянстве плотности воды. Сделанные ими начальные приближения были естественны. Они также предположили, что при распространении волны выполняются два условия для безразмерных параметров
a h
£ = т « 1, S = - « 1. h I
Здесь a - амплитуда волны, h - глубина бассейна, в котором рассматриваются волны, l - длина волны. Суть приближений состояла в том, что амплитуда рассматриваемых волн была много меньше, чем глубина бассейна, но в то же время длина волны была много больше, чем глубина бассейна. Таким образом, Кортевег и де Фриз рассматривали длинные волны. Уравнение, которое было ими получено, имеет вид
U£ + 6 UUX + У-ххх = О-
Здесь - отклонение от положения равновесия поверхности воды
(форма волны) - зависит от координаты x и времени t. Индексы у характеристики и означают соответствующие производные по t и по х. Это уравнение является уравнением в частных производных. Изучаемая характеристика у него (в данном случае и) зависит от пространственной координаты х и времени t. Решить уравнение такого типа - значит найти зависимость и от х и t, после подстановки которой в уравнение мы придем к тождеству.
В настоящее время кажется странным, что открытие Рассела и его последующее подтверждение в работе Кортевега и де Фриза не получили заметного резонанса в науке. Эти работы оказались забытыми почти на 70 лет. Один из авторов уравнения, Д.Д. Кортевег, прожил долгую жизнь и был известным ученым. Но когда в 1945 году научная общественность отмечала его 100 - летний юбилей, то в списке лучших публикаций работа, выполненная им с де Фризом, даже не значилась. Составители списка сочли эту работу Кортевега не заслуживающей внимания. Только спустя еще четверть века именно эта работа стала считаться главным научным достижением Кортевега.
До сих пор мы говорили о решениях в виде уединенных волн, которые, если пользоваться весьма расплывчатым определением, представляют собой просто волны, распространяющиеся без изменения формы и в какой - то мере локализованные. Расселл особо интересовался уединенными волнами на мелкой воде, он дал название этим волнам. Однако существует много уравнений, имеющих решение в виде уединенной волны в смысле того определения. Слово «солитон» впервые встречается в работе Нормана Забуского и Мартина Крускала. Крускал в течение некоторого времени интересовался задачей ФПУ и в особенности тем, почему имеет место рекуррентность. Он изучал некоторые движения нелинейной цепочки. Забуски и Крускал описывают численное изучение уравнения КдФ с множителем б 2 перед членом иххх. Они выбрали
б = 0,02 2, периодические граничные условия такие, что и (х, t) = и (х + 2 , t) , и периодическое начальное условие и (х, 0 ) = с о s х.
Оказалось, что сначала волна становится круче в тех областях, где ее наклон отрицателен, вследствие того, что нелинейность доминирует над третьей производной благодаря малости б 2. После того как волна становится круче, член б 2иххх становится существенным и уравнивается по порядку величины с нелинейностью. Они заметили, что слева от того места, где волна становится круче, развиваются осцилляции, каждая из которых растет и в конце концов достигает устойчивой амплитуды и становится по форме почти идентичной решению в виде уединенной волны. Замечательным свойством этих уединенных волн является их взаимодействие друг с другом, когда они проходят через циклы эволюции, навязанные периодическими граничными условиями. Они проходят сквозь друг друга без изменения форм и лишь с небольшими изменениями фаз. Этот фазовый сдвиг приводит к тому, что начальное состояние не повторяется в точности, но все же почти повторяется, как в задаче ФПУ.
Забуски и Крускал назвали эти уединенные волны солитонами именно потому, что когда две или больше уединенных волны КдФ сталкиваются, то они не разрушаются и не рассеиваются. Греческое окончание «-он» обычно используется для частиц, и поэтому слово «солитон» призвано как бы подчеркнуть тот факт, что уединенные волны ведут себя подобно частицам.
Это «частицеподобное» поведение на самом деле не зависит от периодичности в граничных условиях. Мы можем численно решить уравнение КдФ при граничных условиях и — 0 при и — оо и взять в качестве начальных условий два существенно разных решения уравнения КдФ, имеющих вид уединенных волн, и таких, что более высокая и соответственно более быстрая волна расположена левее. С течением времени более быстрая нагоняет меньшую и сталкивается с ней. Это изображено на рисунке 1.

Рис. 1.

Каждый волновой профиль - это график функции и(х , t) от х для некоторого фиксированного момента времени t. В целом рисунок представляет собой наложение большого количества таких профилей для возрастающей последовательности моментов времени t, отделенных равными промежутками.
Два солитона достаточно отделены друг от друга до столкновения, в середине рисунка сходятся и потом снова разделяются. Тот факт, что траектории каждого солитона в плоскости (х, t) не совпадают до и после столкновения, показывает, что каждый из них претерпевает фазовый сдвиг. Заметим, кроме того, что максимум в области столкновения меньше амплитуды большего солитона, что указывает на отсутствие линейной суперпозиции в центре. Уединенные волны после столкновения сохраняют в точности первоначальную форму, и это удивительно, поскольку можно было бы думать, что сильная нелинейность в процессе столкновения разрушит их. Это свойство важно, поскольку оно показывает, что энергия может распространяться в виде локализованных устойчивых «пакетов» без рассеяния. Такое поведение решений не является свойством одного лишь уравнения КдФ, тем же свойством обладают уравнения МКдФ, уравнение Буссинеска, а также многие другие уравнения. В нелинейном уравнении Шредингера
Щ + ихх — 2|Щ|2Щ = О,
описывающем, в частности, огибающие оптических волн в оптоволоконных кабелях, это свойство также имеет место. Оно используется в некоторых волоконных магистралях для переноса цифровой информации («1» - солитонный импульс, «0» - основное состояние).
Важно понимать, что большинство нелинейных уравнений в частных производных, обладающих решениями в виде уединенных волн, не имеют решений, ведущих себя как солитоны. Некоторые из таких уравнений имеют решения, ведущие себя почти как солитоны в том смысле, что когда две уединенных волны встречаются, то после столкновения они возрождаются с малыми изменениями профиля, и лишь малое количество энергии теряется при этом в виде последующих колебаний. Такое поведение часто называют солитоноподобным, или говорится, что столкновение уединенных волн демонстрирует неупругое солитонное поведение. В качестве примера можно привести так называемое уравнение (произносится «фи четыре»), встречающееся в физике элементарных частиц
Легко найти его простые решения типа бегущей волны р(x,t) = ±^=th(j=(x - vt) + 5),
однако любая суперпозиция подобных волн распадается при больших временах. Это означает, что две волны данного вида после взаимодействия не сохраняют своей формы, а, напротив, порождают осцилляции, которые можно рассматривать как излучение, уносящее часть суммарной энергии волн. Тем самым уравнение р4 не является солитонным в строгом смысле.
Однако терминология несколько неупорядоченна и различается в разных областях. Например, в физике частиц и физике твердого тела
взаимная проницаемость волн не так важна в сравнении с другими частицеподобными свойствами, такими как локализуемость и конечность энергии. Форма волны не является важной частью определения солитона. Солитоны уравнения КдФ имеют форму с h ~ 2, в то время как солитоны модифицированого уравнения КдФ - только с h “ ■*-. Слово «солитон» в большей степени указывает на частицеподобные свойства, чем на форму, то есть на характер взаимодействия и сохранающиеся при этом величины типа массы, суммарного импульса и энергии.
Итак, солитон - структурно устойчивая уединённая волна в нелинейной диспергирующей среде. Солитоны ведут себя подобно частицам: при взаимодействии между собой или с некоторыми другими возмущениями солитоны не разрушаются, а расходятся вновь, сохраняя свою структуру неизменной. Структура солитона поддерживается стационарной за счёт баланса между действием нелинейности среды и дисперсии.
Цель исследования: изучение нелинейных уравнений с частными производными.
Задачи:
• рассмотреть нелинейные уравнения волновых процессов;
• изучить уравнения Кортевега - де Фриза, Адлера.
Объект исследования: нелинейные уравнения с частными
производными.
Предмет исследования: уравнения Кортевега - де Фриза, Аллера.
Методы исследования: метод Хироты, метод подстановки.
Структура и объём работы: ВКР состоит из введения, трёх параграфов, заключения, списка использованной литературы. Работа изложена на 31 странице. Список литературы содержит 13 наименований.

Купить