Тема: ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГИЛЬБЕРТА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

Давид Гильберт (Hilbert, 1862-1943), немецкий математик. Окончил Кенигсбергский университет. В 1895-1930 годах профессор Геттингенского университета. Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете содействовала тому, что Г еттинген являлся одним из основных мировых центров математической мысли. В данной работе рассмотрены основные вычислительные методы, позволяющие разобраться в
преобразовании Гильберта, а так же применение преобразования Гильберта и особые интегральные уравнения.
В самых разнообразных областях современной науки и техники часто приходится встречаться с математическими задачами, для которых невозможно получить точное решение классическими методами или же решение может быть получено в таком сложном виде, которое не приемлемо для практического использования.
В этой работе мы рассмотрим вторую основную краевую задачу теории аналитических функций, так называемую задачу Гильберта, а так же тесно связанные с ней особые интегральные уравнения с ядром Гильберта.
Эта работа представляет собой краткий обзор математической теории преобразований Гильберта.
Исторически изучение этих преобразований, названных в честь немецких математик Дэвид Гильберт, возник в первый раз в начале 20-го века в рамках изучения функций, аналитических на единичном диске.
С тех пор теория широко расширилась и нашла много приложений как в математике, так и в физике.
Хотя темы, обсуждаемые в этой работе, не следуют каким-либо конкретным источник, основное влияние многих из них - первый том великого произведения Гильберта Преобразования, написанного Фредериком У. Кингом. Начнем с определения преобразования Гильберта и рассмотрим понятие главного значения Коши, необходимого в определении. После этого мы перейдем к рассмотрению некоторых основных свойств преобразования Гильберта, большая часть которых будет доказана в деталях. Последний раздел этой главы, это эссе посвященное вычислению преобразования Гильберта некоторых функций которые знакомят нас с их использованием.
На протяжении всей этой работы наша конвенция для преобразования
Фурье функция f будет
.... Ст . . _
^(f)(f) = I f(x)e 2 ^dx
J-m
Соответственно обратное преобразование Фурье будет дано формулой
cm
ю 1 (f)(.v) = I f(f)e2^*df
J-m
Нам также понадобится свертка двух вещественных функций f и g
г
(f*g)(X) = I f(y')g(x - y)dy
J-m
Тема исследования: Преобразование Гильберта и его применения.
Цель: изучить преобразования Гильберта и научиться их применять.
Объект: процесс преобразования Гильберта и его применения.
Задачи:
- основные свойства интегрального преобразования Гильберта;
- Преобразование Фурье ядра Гильберта;
- Преобразование Гильберта и аналитические функции.
- Формулы Сохоцкого
- Преобразование Гильберта и сингулярные интегральные уравнения
- Сингулярные интегральные уравнения и их решение
- Применение сингулярных интегральных уравнений в плоской задаче теории упругости.
Для реализации поставленных задач применялся комплекс методов:
- обобщение изученных ранее данных;
- анализ научно-методической литературы;
- систематизация информации.

Купить

Изучая научную литературу, исследуя и анализируя данную тему можно
сделать вывод, что интегральные преобразования являются средством решения различных задач не только в математике, но и в других областях науки .
Применение методов, использующих преобразования Фурье и Лапласа позволяет минимизировать и упростить вычисления сложных задач математики. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, не применяющие технику интегральных преобразований, не всегда делают возможным проведение численного анализа необходимого для практического использования полученных результатов. Интегральные преобразования позволяют найти решения целого ряда сложных задач математики.
Применение интегрального преобразования во многих случаях позволяет свести решение дифференциального уравнения в частных производных с n независимыми переменными к решению уравнения с n-1 независимыми переменными, что облегчает решение рассматриваемой задачи. Последовательное применение интегральных преобразований может иногда свести задачу к решению обыкновенного дифференциального уравнения, теория которого хорошо разработана.
Достоинство операционного метода решения по сравнению с классическим методом решения неоднородных дифференциальных уравнений состоит в том, что начальные условия автоматически (естественным образом в процессе преобразований) входят в изображающее уравнение. Поэтому после выполнения обратного преобразования Лапласа сразу получается частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, при операционном методе не надо искать произвольные постоянные.
Недостаток метода - трудность обращения преобразования Лапласа, особенно в случае сложной правой части или уравнений высокого порядка.
Существенным преимуществом метода интегральных преобразований является возможность подготовки таблиц прямых и обратных преобразований различных функций, часто встречающихся в приложениях.

Купить