Тема: Корректность задач Гурса, Коши и Дарбу для гиперболических уравнений

Актуальность исследования. Дифференциальные уравнения широко используются в математическом моделировании и в математической физике. С различием физических процессов тесно связаны различия в типах рассматриваемых уравнений. Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное и граничное условия для этого процесса.
Важным является вопрос о корректности той или иной краевой задачи. Этот вопрос зачастую является нетривиальным.
Например, так как формула u(x,t) = ф(х+) + ф(х—) — ф(0) однозначно определяет решение задачи Гурса
UOA = ф(х),иов = ф(х),ф(0) = ф(0) в характеристическом прямоугольнике OAO1B, построенном по его соседним сторонам OA и OB, то наперед произвольно задавать u(x,t) еще и на сторонах OiA и O1B нельзя. Отсюда следует, что задача Дирихле (т.е. задача, в которой носителем данных является замкнутый контур) для уравнения гиперболического типа не является корректно поставленной.
На простом примере можно показать, что в свою очередь для уравнения Лапласа
некорректно поставлена задача Коши.
В самом деле, пусть требуется найти регулярное решение u(x, у) уравнения (36) по начальным условиям






Для достаточно большого n функцию v(x) можно сделать как угодно малой, в то время как соответствующее решение (37) задачи Коши для уравнения (36) неограничено, когда n —> сю. Следовательно, полученное решение неустойчиво, и стало быть, рассматриваемая задача не является корректно поставленной. Приведенный здесь пример принадлежит Адамару.
Цель исследования. Изучение задач Гурса, Коши и Дарбу для уравнений с частными производными второго порядка.
Задачи. Исследование корректности задач Гурса, Коши и Дарбу для гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
Объект исследования. Гиперболические уравнения с частными производными.
Предмет исследования. Задачи Гурса, Коши и Дарбу для гиперболических уравнений.
Структура и объем работы. ВКР состоит из введения, 7 параграфов, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 36 страницах, включая формулы. Список литературы содержит 10 наименований.
Купить

В дипломной работе были рассмотрены дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка гиперболического типа с двумя переменными.
В первой главе доказана корректность задачи Гурса. Дано определение функции Римана, построено решение задачи Гурса в терминах этой функции.
Во второй главе была рассмотрена функция Римана - Адамара первой задачи Дарбу и построено решение задачи Коши.

Купить