Тема: Основы группового анализа дифференциальных уравнений

Актуальность исследования. Групповой анализ является мощным инструментом при рассмотрении нелинейных уравнений и краевых задач. Он возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX в. Софуса Ли(1842-1899 гг. ) и служил главной составной частью его важнейшего творения — теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений — была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились,и надолго. Интерес к групповому анализу возродил Л.В.Овсянников, показав в своих работах 1958-1962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, — описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп — обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики.
Цель исследования: изучение элементов группового анализа дифференциальных уравнений.
Задачи: рассмотреть и изучить однопараметрические группы преобразований, уравнение Ли, инварианты, инфинитезимальный оператор группы, инвариантные уравнения; группы точечных преобразований, формулы продолжения, определяющие уравнения, алгебры Ли и многопараметрические группы, методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (метод интегрирующего множителя,замены переменных).
Объект исследования: группы непрерывных преобразований.
Предмет исследования: группы, допускаемые дифференциаль-
ное уравнение.
Методы исследования: методы группового анализа.
Структура и объем работы. ВКР состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 47 страницах, включая формулы и таблицы. Список литературы содержит 8 наименований.

Купить

Групповой анализ значительно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения. К сожалению, приходится отметить, что сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках. В то время как групповой анализ является мощным орудием исследования достаточно сложных уравнений механики и математической физики.
В данной работе были получены следующие результаты: рассмотрены и изучены основы группового анализа дифференциальных уравнений;
однопараметрические группы преобразований; уравнение Ли, инварианты, инфинитезимальный оператор группы, инвариантные уравнения;
группы, допускаемые дифференциальными уравнениями; формулы продолжения, определяющие уравнения, алгебры Ли, многопараметрические группы;
методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу (методы интегрирующего множителя, замены переменных).

Купить