ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ 6
1.1 Понятие симметрического многочлена 6
1.2 Теоремы о симметрических многочленах 7
ГЛАВА 2. РЕЗУЛЬТАНТ И ДИСКРИМИНАНТ 14
2.1 Результант 14
2.2 Исключение неизвестного из системы двух уравнений с двумя
неизвестными 18
2.3 Дискриминант 20
ГЛАВА 3. СТЕПЕННЫЕ СУММЫ 23
ГЛАВА 4. ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 36
Актуальность исследования. Важным разделом в алгебре является теория многочленов. В теории многочленов от нескольких переменных большое значение имеют симметрические многочлены. Симметрическим многочленом над числовым полем называется многочлен, который не меняется при любой перестановке неизвестных. С помощью симметрических многочленов можно решать разные типы задач: составление уравнений по их корням, уничтожение иррациональности в знаменателе дроби, решение некоторых систем уравнений от нескольких переменных, решение уравнений высших степеней.
Симметрические многочлены возникли при исследовании связи корней многочлена одной переменной и его коэффициентов. Применение симметрических многочленов позволяет решать различные алгебраические задачи: выражение симметрических многочленов через основные
симметрические многочлены, решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, вычисление результантов и дискриминантов многочленов, разложение на множители, освобождение от иррациональности в знаменателе дроби и т.д.
Актуальность данной темы подтверждается тем, что мы осваиваем методы решения уравнений и систем уравнений высших степеней, расширяем знания в теории многочленов, симметрических многочленов, в вычислении результантов и дискриминантов многочленов, степенных сумм, уничтожении иррациональности в знаменателе.
Цель исследования: раскрыть теоретические и практические аспекты применения симметрических многочленов.
Задачи:
1) формирование понятия симметрического многочлена и его свойств;
2) формирование умения представлять любой симметрический многочлен как многочлен от элементарных симметрических многочленов;
3) формирование умений применять теорию симметрических
многочленов при решении следующих задач: вычисление
результантов и дискриминантов многочленов, решение систем двух уравнений с двумя неизвестными, разложение симметрических многочленов на множители, выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены и элементарных симметрических многочленов через степенные суммы, освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
Объект исследования: симметрические многочлены.
Предмет исследования: понятие, теоремы о симметрических
многочленах, результант и дискриминант многочленов, степенные суммы, иррациональность знаменателей.
Дипломная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Текст изложен на 36 страницах, включая формулы и таблицы. Список литературы содержит 12 наименований.
Во введении рассказывается о ВКР в целом, о ее актуальности, задачах, цели, объекте и предмете исследования. Кроме этого, введение содержит краткое описание других глав. Первая глава посвящена симметрическим многочленам. В ней описываются определение симметрического многочлена, элементарного симметрического многочлена, примеры, теоремы, леммы. Во второй главе говорится о результанте, дискриминанте, их определении, теоремах, леммах, примерах, решении систем двух уравнений с двумя неизвестными исключением неизвестного из системы. Третья глава описывает степенные суммы, выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены и элементарных симметрических многочленов через степенные суммы. Четвертая глава посвящена
освобождению от иррациональности в знаменателе дроби, в ней включены способы решения и примеры.
В данной работе были получены следующие результаты:
1) рассмотрены и изучены: основные понятия и факты теории симметрических многочленов от двух и трех переменных, применение их в решении уравнений и систем уравнений, представление любого симметрического многочлена как многочлена от элементарных симметрических многочленов;
2) применены методы симметрических многочленов при решении следующих задач: вычисление результантов и дискриминантов многочленов, решение систем двух уравнений с двумя неизвестными, разложение симметрических многочленов на множители, выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены и элементарных симметрических многочленов через степенные суммы, освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
