
Тип работы:	Предмет:	Язык работы:

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МАТРИЦ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Работа №	127987
Тип работы	Бакалаврская работа
Предмет	информатика
Объем работы	32
Год сдачи	2018
Стоимость	4700 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено	11

Не подходит работа?

Узнай цену на написание

Содержание

Введение 4
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Устойчивость матрицы с постоянными коэффициентами 7
1.1. Проверка устойчивости матрицы через вычисление характеристического полинома 7
1.1.1 Нахождение характеристического полинома по методу Леверье 8
1.1.2 Нахождение характеристического полинома по методу Данилевского 8
1.2. Проверка устойчивости матрицы через нахождение всех
собственных чисел 10
1.2.1 QR-алгоритм 10
1.3. Случай симметрической матрицы 12
1.3.1 Проверка устойчивости симметрической матрицы . . 12
1.3.2 Устойчивость блочных симметрических матриц ... 12
Глава 2. Нахождение радиуса устойчивости матрицы 13
2.1. Обоснование алгоритма 13
2.2. Алгоритм 17
Глава 3. Исследование устойчивости матриц, зависящих от параметров 18
3.1. Исследование устойчивости симметрических матриц вида
Л, + Aiti + ... + Asts 18
3.2. Исследование устойчивости симметрических матриц вида
At + Bt 21
3.3. Исследование устойчивости матриц с помощью нахождения
радиуса устойчивости 22
3.4. Устойчивость блочных симметричных матриц 27
Приложение. Программная реализация в Wolfram Mathematica 29
1. Вычисление радиуса устойчивости матрицы 29
2. Алгоритм проверки устойчивости параметрической матрицы
с помощью нахождения r(A) 30
Список литературы 31

Введение

Как известно [3], линейная однородная система x = Ax с постоянной матрицей A асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части.
Поэтому задача установления необходимых и достаточных условий, при которых все корни данного полинома расположены в левой полуплоскости, имеет фундаментальное значение в ряде прикладных областей, в которых исследуется устойчивость механических и электрических систем.
К концу XIX века Э. Дж. Раус и А. Гурвиц, независимо от друг друга дали решение этой задачи. Полученные Гурвицем детерминантные неравенства известны в настоящее время под названием условий Рауса- Гурвица [2].
В случае матрицы, зависящей от параметров, проверка этих условий трудоемка, особенно для матриц больших размерностей. Тем самым, актуальным является поиск других подходов к этой задаче.
В данной работе предложен иной подход, основанный на нахождении r(A) - радиуса устойчивости матрицы, преимуществом которого является более быстрая работа с матрицами больших порядков. Также дополнительно выведены некоторые следствия из статьи [16] и расширен класс параметрических матриц, для которых проверка устойчивости тривиальна.
Далее под устойчивостью матрицы подразумевается отрицательность вещественных частей всех её собственных чисел. Аналогично для полиномов: полином устойчив, если все его корни лежат в левой полуплоскости.
Область устойчивости параметрической матрицы - множество значений параметров, при которых матрица устойчива.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь студентам в написании работ!

ДИПЛОМНЫЕ МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Курсовые Статьи Диплом Рязань

Заключение

При написании данной работы применялись научные источники, учебная литература, а также статьи из научных изданий.
Всю используемую литературу можно разделить на несколько частей. Первая часть включает литературу по алгебре и теории матриц. Сюда можно отнести книги [1], [2], [4], [5], [7], [8], [9].
Основные понятия о теории устойчивости взяты из книг [1], [2], [3].
При изучении понятия радиуса устойчивости использовались статьи [10], [11], [15], [17], в которых уже были приведены некоторые алгоритмы вычисления r(A), а также были доказаны некоторые важные теоремы. Для получения нового способа нахождения r(A) применялся алгоритм нахождения значений параметра, при котором данная матрица имеет кратное собственное число [13].
Использовались результаты, касающиеся линейных симметричных параметрических матриц: [12], [16].
Необходимые исторические сведения были взяты из книг [2] и [5].

Литература

[1] Беллман Р. Введение в теорию матриц. Изд. 2-е, доп. М.: Наука, 1969. 368 с.
[2] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Изд. 5-е. М.: Физматлит, 2010. 560 с.
[3] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Изд. 3-е, стер. СПб: Лань, 2008. 480 с.
[4] Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1: Основы алгебры Изд. 2-е, стер. М.: МЦНМО, 2012. 272 с.
[5] Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981, 176 с.
[6] Серре И. А. Курс Высшей алгебры. Издание М. О. Вольфа, 1910. 574 с.
[7] Утешев А.Ю., Калинина Е.А. Лекции по высшей алгебре. Часть II. СПб.: Соло. 2007. 279 c.
[8] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Изд. 3-е, стер. СПб: Лань, 2009. 736 с.
[9] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с. Фаддеев с: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1984. 416 с.
[10] Byers R. A Bisection Method for Measuring the Distance of a Stable Matrix to the Unstable Matrices // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing archive, 1988, Volume 9, Issue 5, P. 875-881.
[11] Fuzhen Zhang The Schur Complement and Its Applications. Springer, 2005, p. 295
[12] Hladik M. Positive Semidefiniteness and Positive Definiteness of a Linear Parametric Interval Matrix // Numerical Analysis, 2017.
[13] Kalinina E.A. On Multiple Eigenvalues of a Matrix Dependent on a Parameter // Computer Algebra in Scientific Computing, 2016, p.305314.
[14] Li W., Wang L. A Criterion for Stability of Matrices // Journal Of Mathematical analysis and applications 225, 1998.
[15] Meyer, K., Hall, G., Offin, D. Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem. Springer, 2009, p.399
[16] Skalna I. Parametric Interval Algebraic Systems. Springer, 2018, p.191.
[17] Van Loan C.F. How Near is a Stable Matrix to an Unstable Matrix? // Contemp. Math.,1984, v.47, p.465-478.