Тема: Исследование условий абсолютной устойчивости некоторых классов нелинейных систем

Одной из важнейших задач современной теории управления является анализ устойчивости различных классов нелинейных систем [11]. В данной работе исследуются условия устойчивости для некоторых классов нелинейных систем. Предполагается, что функции, входящие в правые части рассматриваемых уравнений, удовлетворяют ограничениям секторного типа [1]. Такие функции называются допустимыми. Можно выделить две основные задачи.
Первая задача заключается в исследовании условий асимптотической устойчивости нулевого решения для одного класса нелинейных систем с переключениями. Системы с переключениями широко используются в задачах управления технологическими процессами, механическими системами, а так же во многих других областях [1, 10]. Система такого типа представляет собой гибридную динамическую систему, включающую в себя семейство непрерывных по времени подсистем, а также закона переключения между ними [1]. Переключения могут быть обусловлены внешними возмущениями или же задаваться управлением. В каждый момент времени активна только одна из подсистем семейства. Зачастую при проектировании управляемой системы необходимо обеспечить её устойчивость для любых допустимых переключений [1, 10]. Данная проблема является актуальной, если изначально закон переключений неизвестен. Необходимым, но не достаточным условием устойчивости системы является устойчивость каждой подсистемы семейства [1]. Для исследования необходимых условий к соответствующим линейным подсистемам применяется критерий Гурвица [4]. Для получения достаточных условий устойчивости эффективным средством является прямой метод Ляпунова. Существование общей для всех подсистем функции Ляпунова гарантирует асимптотическую устойчивость равномерную относительно закона переключения [1].
Во второй задаче рассматриваются условия асимптотической устойчивости нулевого решения для некоторого класса нелинейных систем с постоянным запаздыванием. Далеко не всегда реальные динамические системы могут быть описаны системами обыкновенных дифференциальных уравнений, поэтому зачастую при моделировании динамических процессов используются системы с запаздыванием [2]. Запаздывание возникает тогда, когда динамика системы зависит не только от ее состояния в текущий момент времени, но и от положения системы в некоторый предыдущий момент времени [2]. Такие системы используются для моделирования биологических сообществ, применяются в экологии, экономике, инженерии и многих других областях [2, 3, 9]. Устойчивость систем с запаздыванием также является актуальной проблемой теории управления. В данной работе рассматриваются как системы с запаздыванием без переключений, так и системы с запаздыванием и с переключениями. Анализ устойчивости основан на использовании прямого метода Ляпунова и функционалов Ляпунова — Красовского [2]. Найдены условия существования диагональных функционалов Ляпунова — Красовского.
Выполнение полученных условий гарантирует, что нулевые решения изучаемых систем будут являться асимптотически устойчивыми при любых допустимых нелинейностях, переключениях и при произвольном неотрицательном запаздывании.
Купить

В данной работе были получены необходимые условия абсолютной устойчивости и достаточные условия диагональной устойчивости для одного класса нелинейных систем с переключениями.
Также была рассмотрена нелинейная система с запаздыванием с якобиевой матрицей коэффициентов при нелинейностях, для которой были установлены достаточные условия диагональной устойчивости. Кроме того, для частного случая такой системы был получен критерий диагональной устойчивости. Помимо этого, была рассмотрена система, в которой, наряду с постоянным запаздыванием, имеют место допустимые переключения. Для этого случая были получены достаточные условия диагональной устойчивости.
Были также рассмотрены два специальных случая систем третьего порядка с запаздываниями и найдены критерии их диагональной устойчивости.
Все полученные условия являются конструктивно проверяемыми и их выполнение гарантирует абсолютную устойчивость рассматриваемым системам.
Часть результатов выпускной квалификационной работы была представлена на международной конференции "Процессы управления и устойчивость. Control Processes and Stability. CPS’15". По результатам конференции была опубликована статья [19]. Также часть результатов была представлена на международной конференции "Процессы управления и устойчивость. Control Processes and Stability. CPS’16". Материалы доклада приняты к печати.

Купить