ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ 8
1.1. Основные понятия комплексного числа 8
1.2. Различные подходы к изучению комплексных чисел в школьном курсе математики 12
1.3. Логика темы «Использование комплексных чисел в обучении геометрии» 15
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ 19
2.1. Методы обучения решению геометрических задач с использованием комплексных чисел 19
2.2. Приемы и средства обучения геометрии при применении метода
комплексных чисел 22
2.3. Применение комплексных чисел при решении задач планиметрии и стереометрии 26
ГЛАВА 3. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ОБУЧЕНИЮ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 51
3.1 Описание опытно-экспериментальной работы 51
3.2. Этапы опытно-экспериментальной работы 54
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 63
ПРИЛОЖЕНИЯ 67
Математическое образование является одним из важнейших факторов, формирующих личность человека, его интеллект и творческий потенциал.
Согласно утвержденной 24 декабря 2013 года концепции развития математического образования в РФ, система учебных программ среднего и высшего образования должна обеспечивать условия для подготовки специалистов, способных восполнить нужды математической науки. Для этого должны разрабатываться современные программы, спецкурсы, факультативные занятия, включающие такие математические направления, которые не рассматриваются в средней школе. Одним из таких направлений, на наш взгляд, можно считать применение алгебры комплексных чисел в математике и ее приложениях. Рассмотрение комплексных чисел может значительно обогатить содержание важнейших понятий школьной программы по математике таких, как квадратные уравнения, тригонометрические функции и др. В частности, успешно можно применять методы комплексных чисел в элементарной геометрии для решения задач планиметрии и стереометрии. Применение метода комплексных чисел соединяет в единое целое вполне самостоятельные обособленные части науки математики: алгебру, геометрию, тригонометрию, что ведет к освоению и пониманию школьниками разнообразных научных математических методов.
Вопросы теории комплексных чисел и их приложений в геометрии неоднократно становились предметом научных исследований (А.И. Маркушевич, И.М. Яглом, З.А.Скопец, Я.П. Понарин, М.А. Лаврентьев, В.И. Нечаев, И.И. Привалов, В.И. Соломенцев, L.V. Ahlfors) [11], [12], [25]. В своих исследованиях ученые рассматривают оригинальные подходы к решению нестандартных геометрических задач.
Особенности современного образования определили возникновение научно-педагогического противоречия: между возможностями
содержательно-методической линии школьного курса алгебры и начала анализа и отсутствием использования комплексных чисел в обучении геометрии.
Данное противоречие обуславливает актуальность проблемы, состоящей в отсутствии применения метода комплексных чисел в обучении геометрии в школе.
В связи с этим, была сформулирована тема исследования: «Использование комплексных чисел в обучении геометрии».
Цель исследования - изучение и обоснование приемов и средств, способствующих использованию комплексных чисел в обучении геометрии. Объект исследования - процесс обучения математике.
Предмет исследования - использование комплексных чисел в обучении геометрии.
С учетом цели и предмета определены задачи:
1. Изучить и проанализировать научную, учебно -методическую литературу по проблеме исследования.
2. Рассмотреть способы решения геометрических задач с применением метода комплексных чисел.
3. Обосновать методы, приемы и средства, способствующие
использованию комплексных чисел в обучении геометрии.
4. Провести экспериментальную проверку по эффективному
использованию метода комплексных чисел.
Методологическую основу исследования составили фундаментальные принципы современного науковедения, диалектический метод познания как база научной педагогики. Теория системно-деятельного подхода.
Источниками исследования явились работы отечественных ученых, математиков, труды психологов и педагогов, опыт ведущих учителей математики.
Для реализации поставленных задач применялся комплекс методов исследования: теоретических (анализ научной, психолого-педагогической литературы по тематике исследования), эмпирических (педагогические наблюдение, тестирование, педагогический эксперимент, методы статистической обработки результатов исследования).
Экспериментальная база исследования: эксперимент проводился в «МБОУ СОШ №3» г.Туймазы Республики Башкортостан. Экспериментальной работой было охвачено 22 учащихся 11 класса, два преподавателя.
Исследование проводилось в три этапа:
Первый этап (май, 2018 - сентябрь, 2018). На данном этапе изучалась и анализировалась научная литература по проблеме исследования, определялись основные противоречия и проблемы, существующие в изучаемой области, разработан научно-логический аппарат, решены основные теоретические задачи исследования.
Второй этап (сентябрь, 2018 - май, 2019). На этом этапе
осуществлялась подготовка и непосредственно проведение контактирующего педагогического эксперимента, целью которого была диагностика уровня усвоения учащимися 11 класса метода комплексных чисел. Изучены различные подходы к изучению комплексных чисел в школьном курсе математики. Разработаны основные приемы и средства обучения геометрии и спроектированы факультативные уроки.
В ходе формирующего эксперимента проведена проверка приемов и средств, способствующих использованию комплексных чисел в обучении геометрии.
Третий этап (май, 2019 - июнь, 2019) на этом этапе осуществлялись анализ, систематизация, обобщение и обсуждение результатов проведенного эксперимента, сформулированы научные выводы исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что сформулирован обобщенный прием решения геометрических задач методом комплексных чисел, обоснованы приемы и средства, способствующие эффективному использованию комплексных чисел в обучении геометрии.
Практическая значимость: результаты исследования могут
использоваться учителями в учебном процессе в школе, учащимися старших классов, студентами математических специальностей.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивают широкое использование научной методологии и методики исследования, реализации совокупности эмпирических и теоретических методов, соответствующих предмету, целям и задачам исследования, результаты экспериментальной работы.
Апробация и внедрение результатов исследования. Ход
исследования и его основные положения докладывались и обсуждались на научно-практических студенческих конференциях КФУ.
Структура работы: магистерская диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложений.
Во введении обосновывается актуальность исследования, определены цель, объект, предмет, задачи и методы исследования, его методологические основа исследования, указаны научная новизна, практическая значимость, сведения по апробации и внедрению результатов.
В первой главе - «Теоретические основы применения комплексных чисел в обучении геометрии» - рассмотрены сведения из теории комплексных чисел, различные подходы к изучению комплексных чисел в школьном курсе математики, выявлены требования к уровню подготовки учащихся при применении метода комплексных чисел.
Во второй главе - «Методические основы использования комплексных чисел при обучении геометрии» - рассмотрены различные способы решения геометрических задач (с использованием комплексных чисел и без их использования), определены методы, приемы и средства обучения геометрии с использованием комплексных чисел.
В третьей главе - «Опытно-экспериментальная работа по обучению решению геометрических задач методом комплексных чисел» - приведены результаты экспериментальной проверки разработанного курса факультатива для учащихся старших классов с применением выявленных приемов и средств.
В заключении изложены основные выводы исследования.
Анализ учебно-методической литературы показал, что при изучении темы «Комплексные числа» в курсе алгебры основное внимание уделяется алгебраическим операциям над комплексными числами, а их геометрический смысл во многих учебниках отходит на второй план или освещается лишь поверхностно. Однако, используя комплексные числа, можно успешно решать многие геометрические задачи, а доказательства классических терем элементарной геометрии с помощью комплексных чисел чаще оказываются более предпочтительнее традиционных.
В первой главе рассмотрены теоретические основы применения комплексных чисел в обучении геометрии. Целесообразность изучения геометрических приложений комплексных чисел обуславливается рядом положений:
- изучение темы «Использование комплексных чисел в обучении геометрии» не только позволит повысить учащимся математическую культуру и кругозор, но и установит связь алгебры с геометрией;
- комплексные числа могут использоваться как один из эффективнейших инструментов решения геометрических задач.
Во второй главе отмечается, что, отбирая учебный материал, нужно руководствоваться стремлением максимально полно раскрыть геометрическую сторону комплексных чисел; подвести учащихся к тому, чтобы они по-новому взглянули на решение некоторых планиметрических задач или доказательства теорем элементарной геометрии; чтобы у них сформировались умения переводить математические факты с геометрического языка на язык комплексных чисел и обратно. Анализ приемов решений различных типов геометрических задач позволил сформулировать обобщенный прием решения геометрических задач методом комплексных чисел. Этот обобщенный прием продемонстрирован при решении нескольких задач и доказательстве теорем. Для сравнения приведен и традиционный способ решения.
В третьей главе описана опытно-экспериментальная работа по обучению решению геометрических задач методом комплексных чисел. Проанализировав психолого-педагогические особенности восприятия исследуемой темы старшеклассниками, особенности построения факультативов для учащихся старших классов, критерии отбора содержания, методов и форм проведения факультативного курса, значение комплексных чисел в математическом образовании школьников, содержание учебной литературы, содержащей тему «комплексные числа», был разработан факультативный курс «Применение комплексных чисел в геометрии». Данный курс развивает, углубляет и обогащает заложенные в курсе алгебры представления о комплексных числах; дает возможность старшеклассникам увидеть в едином целом обособленные части науки математики: алгебры, геометрии, тригонометрии. Учащиеся были протестированы в начале курса и в конце. По итогам трех этапов опытно-экспериментальной работы можно отметить положительную динамику развития и углублении заложенных в курсе алгебры представления о комплексных числах. Итоги экспериментального обучения подтвердили эффективность разработанного факультатива.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
