Тема: МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ С ПРЕДОБУСЛАВЛИВАНИЕМ В СХЕМАХ МКЭ

Многие явления можно описать с помощью станционарных процессов. Однако решение стационарных задач зачастую не может быть найдено аналитически, В этих случаях применяют различные численные методы, сводя задачу к конечномерной с помощью некоторого метода дискретизации. Одним из таких методов дискретизации является метод конечных элементов.
Однако при требовании высокой точности к решению исходной задачи размер итоговой системы линейных уравнений может неограниченно расти. Это приводит к проблеме решения больших систем линейных уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений делятся на две основных группы: прямые и итерационные. Последние представляют из себя крайне широкую группу и выбор наиболее оптимального из этой группы является важной и в то же время не тривиальной задачей. Важно отметить, что у одних и тех же методов может быть несколько вариантов реализации, что ещё больше затрудняет выбор наиболее оптимального метода.
Данная работа посвящена реализациям нескольких вариантов предобуславливания для метода сопряженных градиентов в МКЭ для граничных задач,
С одной стороны, работа не претендует на универсальность - полученные в ней сравнительные эффективности разных методов подойдут не для любой СЛАУ, С другой стороны, она является не такой специализированной, чтобы рассматривать только один вид системы и потому полученные оценки можно считать применимыми к классу систем линейных уравнений, В частности, в данной работе рассматриваются системы, построенные по схеме МКЭ для одномерных и двумерных краевых задач. Основным свойством таких систем является сильная разреженность.
Кроме того, в этой работе производится сравнение итерационных методов не только между собой, но и с прямым методом. За счёт этого можно рассмотреть актуальность использования итерационных методов. Также в данной работе производится сравнение различных реализаций алгоритмов, одни из которых учитывают разреженную структуру матриц, а другие нет,
В рамках данной работы выполнены следующие задачи:
• Реализованы алгоритмы сборки системы метода конечных элементов с численным интегрированием для одномерной и двумерной краевых задач,
• Реализован метод сопряженных градиентов
• Реализованы различные методы предобуславливания для метода сопряженных градиентов
• Проведено сравнение различных видов предобуславливания для метода сопряженных градиентов между собой и сравнение метода сопряженных градиентов с прямым методом решения СЛАУ,Все реализованные алгоритмы были написаны на языке программирования python с использованием пакетов numpy и scipy.
В перспективе, хотелось бы расширить класс итерационных методов, участвующих в сравнении и исследовать более подробно возможности оптимизации методов, в частности распараллеливание вычислений, где возможно,
В рамках работы рассматривались две краевые задачи. Первая - одномерная краевая задача Дирихле вида:— ('p(x)U (x))' = f (x), Vx Е (a,b)
u(a) = Ua,
u(b) = ub.
Вторая - аналогичная двумерная задача Дирихле в квадратной области вида:
— div(p(x)Vu(x)) = f (х), Vx Е (0,1) х (0,1) u(x) = 0, x Е Г, где p(x) - скалярная функция векторного аргумента, Г - граница области (0,1) х (0,1),


Купить

Из рассмотренных методов предобуславливания метод декомпозиции области проявил себя лучше всего. Данный метод оказался наиболее быстрым для большого набора тестов. Также было получено, что некоторые из итерационных методов сравнимы по времени решения задачи с прямым методом, В частности, к ним относятся блочные методы предобуелавливания.
При проведении работы для класса блочных предобуславливателей было выявлено, что учёт сильной разреженности системы положительно сказывается на времени решения задачи и может дать значительный прирост произодительноети.
Стоит отметить, что хоть ни один из методов не смог превозойти прямой метод по времени решения задачи, у некоторых методов есть ещё потенциал для увеличения производительности, В частности, метод декомпозиции может быть ускорен за счёт распараллеливания вычислений для независимых блоков. Кроме того, у итерационных методов есть важная особенность, которая в данной работе не была исследована - для итерационных методов может быть задано начальное приближение, что может дополнительно улучшить такой показатель, как время работы программы, К тому же исследованный список методов предобуславливания не является исчерпывающим. Все эти темы сподвигают на дальнейшее исследование использования метода сопряженных градиентов с предобуславливанием для систем МКЭ.
Купить