📄Работа №183849
Тема: Численное решение коэффициентных обратных задач с помощью итерационного метода сопряженных градиентов
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
38 листов
Год:
2024
Просмотров:
71
4380
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Аннотация 2
ВВЕДЕНИЕ 3
1.Численные методы оптимизации для решения экстремальных задач 5
1.1 Методы одномерной оптимизации 6
1.2 Методы многомерной оптимизации 6
1.2.1 Методы нулевого порядка 6
1.2.2 Методы первого порядка 7
1.2.3 Методы второго порядка 7
2. Сравнение метода сопряженных градиентов и дифференциальной эволюции 8
2.1 Метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса 8
2.2 Метод дифференциальной эволюции 10
2.3 Полученные результаты 11
3. Постановка задачи 14
4. Построение численного метода решения задачи 16
5. Алгоритм решения обратной задачи методом сопряженных градиентов Флетчера-Ривса 17
6. Технологии параллельного программирования 18
7. Результаты вычислений 22
7.1 Результаты OpenMP 23
7.2 Результаты OpenACC 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 32
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 33
ПРИЛОЖЕНИЕ А 34
ВВЕДЕНИЕ 3
1.Численные методы оптимизации для решения экстремальных задач 5
1.1 Методы одномерной оптимизации 6
1.2 Методы многомерной оптимизации 6
1.2.1 Методы нулевого порядка 6
1.2.2 Методы первого порядка 7
1.2.3 Методы второго порядка 7
2. Сравнение метода сопряженных градиентов и дифференциальной эволюции 8
2.1 Метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса 8
2.2 Метод дифференциальной эволюции 10
2.3 Полученные результаты 11
3. Постановка задачи 14
4. Построение численного метода решения задачи 16
5. Алгоритм решения обратной задачи методом сопряженных градиентов Флетчера-Ривса 17
6. Технологии параллельного программирования 18
7. Результаты вычислений 22
7.1 Результаты OpenMP 23
7.2 Результаты OpenACC 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 32
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 33
ПРИЛОЖЕНИЕ А 34
📖 Аннотация
Работа посвящена численному решению коэффициентных обратных задач для дифференциальных уравнений. Актуальность исследования обусловлена необходимостью разработки устойчивых вычислительных алгоритмов для интерпретации косвенных измерений в таких областях, как геофизика и медицина, где исходные данные известны с погрешностью, а прямые эксперименты затруднены. В качестве основного метода использован итерационный алгоритм сопряженных градиентов Флетчера-Ривса, известный высокой скоростью сходимости и экономичностью по памяти, в рамках процедуры минимизации соответствующего функционала невязки. Ключевым результатом является успешное построение и реализация численного алгоритма для конкретной коэффициентной задачи, при этом детально исследована сходимость метода и выявлено, что узким местом вычислительной процедуры является этап одномерной оптимизации (метод дихотомии) для поиска оптимального шага. Для ускорения вычислений проведена параллелизация алгоритма с использованием технологий OpenMP и OpenACC, что позволило получить ускорение в 7.3 и 3.4 раза соответственно. Практическая значимость результатов заключается в возможности их применения для решения прикладных обратных задач в научных и инженерных расчетах, требующих высокой производительности, с использованием современных суперкомпьютерных систем. Теоретической основой работы послужили классические труды по теории обратных задач Денисова А.М. и по численным методам Самарского А.А., а также учебные пособия по параллельным вычислениям Антонова А.С. и Старченко А.В.
📖 Введение
Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной математики. Это связано с необходимостью разработки методов для решения прикладных проблем в различных областях естествознания, связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений. Целью проведения экспериментов в науке и технике является изучений свойств объекта или процессов, которые интересны исследователю. При этом иногда возникают трудности, при которых объект недоступен для изучения, либо же наблюдения требует больших экономических затрат. Примером могут служить исследования звезд в астрофизике, изучение внутренних органов в медицине или поиск месторождения полезных ископаемых. Общей чертой описанных выше задач является необходимость сделать вывод о внутренних связях явления или процесса по дополнительным косвенным измерениям. В таких задачах нужно определить причину, зная о полученных в результате наблюдения следствиях. Естественно называть подобные задачи обратными. Важной особенностью таких задач является то, что исходные данные являются приближенными и часто содержат погрешность. Поэтому методы решения обратных задач должны быть устойчивыми к малым изменениям в исходных данных [1].
При решении дифференциальных уравнений с частными производными формулируют дополнительные граничные и начальные условия. Это необходимо для того, чтобы из множества возможных решений выделить искомое. С этим связано понятие корректной постановки задачи, введённое Ж. Адамаром (корректность в классическом смысле) [2]. Задача называется корректно поставленной, если:
1. решение задачи существует,
2. это решение единственно,
3. решение задачи непрерывно зависит от входных данных.
Важную роль играет именно третье условие корректности, потому что оно обеспечивает устойчивость. Под входными данными подразумеваются коэффициенты уравнения, правая часть, граничные и начальные данные, которые были получены в ходе эксперимента и известны с погрешностью. Естественно предположить, что обратные задачи будут некорректными. Но данное соображение нельзя рассматривать как факт, верный для любой обратной задачи. Оно лишь выражает тенденцию, характерную для данного типа задач.
Обратные задачи делятся на коэффициентные обратные задачи (неизвестны коэффициенты уравнения или правая часть уравнения), граничные обратные задачи (неизвестны граничные условия) и эволюционные обратные задачи (неизвестны начальные условия) [2].
При численном решение обратных задач часто используются следующие методы: метод регуляризации Тихонова [2], метод квазиобращений[2], метод невязок[1]. А так же с большим успехом применяются итерационные методы: метод скорейшего спуска[3], метод простой итерации[4], метод сопряженных градиентов[3], в том числе и метод Флетчера-Ривса[3] и др.
В теории обратных задача сформировался ряд направлений, обусловленных как различными сферами ее приложений, так и типами математических постановок обратных задач. Число научных публикаций по теории обратных задач и ее приложений очень велико. Многие из полученных результатов нашли своё отражение в монографиях, в которых рассмотрены как общие вопросы теории, так и ее специальные разделы, посвящённые конкретным направлениям исследований.
Целью данной работы является разработка эффективного метода решения коэффициентной обратной задачи с помощью метода сопряженных градиентов.
При решении дифференциальных уравнений с частными производными формулируют дополнительные граничные и начальные условия. Это необходимо для того, чтобы из множества возможных решений выделить искомое. С этим связано понятие корректной постановки задачи, введённое Ж. Адамаром (корректность в классическом смысле) [2]. Задача называется корректно поставленной, если:
1. решение задачи существует,
2. это решение единственно,
3. решение задачи непрерывно зависит от входных данных.
Важную роль играет именно третье условие корректности, потому что оно обеспечивает устойчивость. Под входными данными подразумеваются коэффициенты уравнения, правая часть, граничные и начальные данные, которые были получены в ходе эксперимента и известны с погрешностью. Естественно предположить, что обратные задачи будут некорректными. Но данное соображение нельзя рассматривать как факт, верный для любой обратной задачи. Оно лишь выражает тенденцию, характерную для данного типа задач.
Обратные задачи делятся на коэффициентные обратные задачи (неизвестны коэффициенты уравнения или правая часть уравнения), граничные обратные задачи (неизвестны граничные условия) и эволюционные обратные задачи (неизвестны начальные условия) [2].
При численном решение обратных задач часто используются следующие методы: метод регуляризации Тихонова [2], метод квазиобращений[2], метод невязок[1]. А так же с большим успехом применяются итерационные методы: метод скорейшего спуска[3], метод простой итерации[4], метод сопряженных градиентов[3], в том числе и метод Флетчера-Ривса[3] и др.
В теории обратных задача сформировался ряд направлений, обусловленных как различными сферами ее приложений, так и типами математических постановок обратных задач. Число научных публикаций по теории обратных задач и ее приложений очень велико. Многие из полученных результатов нашли своё отражение в монографиях, в которых рассмотрены как общие вопросы теории, так и ее специальные разделы, посвящённые конкретным направлениям исследований.
Целью данной работы является разработка эффективного метода решения коэффициентной обратной задачи с помощью метода сопряженных градиентов.
✅ Заключение
В данной работе получено решение одной коэффициентной обратной задачи. Для ее решения предлагается метод, основанный на алгоритме сопряженных градиентов Флетчера-Ривса. Достоинствами метода Флетчера-Ривса является хорошая скорость сходимости и малый объем памяти необходимый для хранения информации. Для исследования ускорения вычислений использовались технологии параллельного программирования OpenMP и ОрепАСС. Получено ускорение вычислений для OpenMP программы в 7.3 раза и OpenACC в 3.4 раза. Изучено влияние начального приближения метода дихотомии на скорость сходимости всей процедуры. Было показано, что узким местом построенной процедуры является метод дихотомии для поиска оптимального шага в направлении антиградиента.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.