Тема: ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ПЛАСТИНЫ СО ШТАМПОМ

Механика контактного взаимодействия является основной дисциплиной инженерии и является обязательной при проектировании надежного оборудования. Теория контактного взаимодействия является полезной при решении многих задач с контактом, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и многих других. Она включает в себя очень много задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и нано-системах.
Классическая теория контактных задач прежде всего обязана Генриху Герцу. Герц в далеком 1882 году решил контактную задачу о двух упругих телах с искривленными поверхностями. Данный результат и по сей день лежит в основе задач на контактное взаимодействие. Только лишь столетие спустя Кендал, Джонсон и Робертс нашли похожий подход к решению задачи для адгезионного контакта.
В середине 20-го столетия контактная механика была связана уже с именами Боудена и Тейбора. Эти двое были первые, кто показал важность учета шероховатостей между контактируемыми телами. Данное условие приводит к тому, что действительная площадь контакта между двумя телами много меньше кажущейся площади контакта. Эти условия очень сильно повлияли на развитие многих трибологических исследований. Работы этих двух ученых вызвали волну появления ряда новых подходов и теорий контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.
В 1957 году Архард пришел к тому, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна
нормальной силе. Дальнейшее развитие контактных задач связано с именами таких людей как Гринвуд, Вилламсон и Перссон. Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.
В наши дни механика контактного взаимодействия продолжает развиваться. Доказательством является то, что продолжают защищаться докторские и кандидатские диссертации, печатаются статьи и монографии, содержащие новые результаты. Например, в 2001 году публикуется монография [1], включающая в себя обзор основных прорывов российских исследователей по методам и результатам решения контактных задач. Научными редакторами монографии являются такие известные механики как И. И. Ворович и В. М. Александров.
Так, в работе А. А. Калякина [2] были рассмотрены плоская и осесимметричная контактные задачи для трехслойного упругого полупространства. Плоскую задачу А. А. Калякин сводит к сингулярному интегральному уравнению первого рода и находит приближенное решение с помощью модифицированного метода коллокации Мультоппа-Каландия. Осесимметричную же задачу он сводит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, приближенное решение которого было найдено специально разработанным методом коллокации по узлам полинома Лежандра. Также в работе была рассмотрена осесимметричная контактная задача для трансверсально-изотропного слоя, полностью сцепленного с упругим изотропным полупространством.
В работе же С. А. Кузнецова и Д. Л. Егорова [3] было рассмотрено численно-аналитическое решение задачи контактного взаимодействия круглой пластины и штампов различных форм. Они рассмотрели проблему
решения интегрального уравнения, описывающего условие контакта, сводящегося к решению системы линейных алгебраических уравнений. Алгоритм решения задачи реализован в двух программах, работающих в паре, и были получены поля распределений напряжений под штампом.
Численное решение контактной задачи об изгибе пластин, ограниченных гладким жестким плоским основанием, провели
Ю. П. Артюхин и С. А. Малкин [4]. Провели они его непрямым методом граничных элементов. Данная задача была решена аналитически в интегральной форме для круглой пластины с учетом и без учета обжатия. Обжатие же приводит к уравнению Фредгольма 2-го рода, постепенно которое сводится к краевой задаче. Конкретно в этом случае контактные напряжения принимают гладкий вид.
Осипенко М. А. и Няшин Ю. И. [5] предоставили новый способ расчета задач об одностороннем контакте струн, круглых мембран, балок и пластин. Этот способ вобрал в себя элементарное доказательство единственности решения и строгую математическую постановку. Аналитическое решение метод которого был построен на итерационном уточнении области контакта. Также были приведены некоторые примеры использования этого метода при решении одномерных контактных задач.
С. Б. Томашевский [6] в своей статье рассмотрел математическое моделирование физических процессов при взаимодействии колеса и рельса, и упрочняющего ролика, и оси колесной пары. Он показал, как распространяются деформации и напряжения в контактирующих деталях. Нашел размеры и области контакта.
В настоящей магистерской диссертации получено численное решение одномерной задачи о контакте пластины со штампом и исследовано влияние на контактные напряжения размера и положения штампа.
Купить

Таким образом, мы подробно рассмотрели, как могут
взаимодействовать между собой пластина и плоский штамп. Подробно рассмотрели метод построения функции влияния и нашли ее.
Также реализовали численное решение интегрального уравнения Фредгольма II рода с помощью трехточечной формулы Гаусса. Реализовали дискретизацию, с заданной точностью удостоверились в правильности реализации метода в системе MATLAB.
Построили графики сходимости к заданной точности и показали наглядно как изменяются напряжения с детализацией сетки. Показали в процентном соотношении изменения напряжений в зависимости от того, как сильно детализирована сетка.
Показали, как будут смещаться максимальные напряжения при изменении размеров и положения плоского штампа. Максимальные напряжения находятся на краю штампа, ближайшем к краю пластины.
Купить