ВВЕДЕНИЕ 3
1 Разложение вероятности накрытия по степеням параметра т 6
1.1 Аппроксимация первого порядка 6
1.2 Аппроксимация второго порядка 7
1.3 Аппроксимация третьего порядка 8
1.4 Метод равных площадей для глобальной аппроксимации вероятности накрытия 9
1.5 Сравнение точности рассмотренных аппроксимаций 10
2 Новое асимтотическое разложение для вероятности накрытия 11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 16
Список литературы
Приложение
Купить

Рассматривается задача оценки вектора средних значений в = (6,..., 9Р) p - мерного нормального распределения с независимым компонентами в рамках однофакторной модели II дисперсионного анализа. В этой модели компонентах вектора в представляют выборку из другого нормального (р, Л2) распределения. Использование в качестве оценки в вектора выборочных средних X = (X1,...,Xp) игнорирует априорную информацию, содержащуюся в вероятностной модели, и такая оценка обладает меньшими TOHHOCTHBIMH свойствами, чем байесовская.
Предполагается, что дисперсия а2 исходного нормального распределения и точка сжатия р (среднее значение априорного распределения) известны, так что, не ограничивая общности можно положить а = 1 и р = 0. Пств X = (Xi,...,Xp) - вектор выборочных средних для вигборок одинакового объема n из соответствующих маргинальных распределений. Как известно, доверительное множество
DX = {в : п||в - X||2 < c2}
имеет заданный доверительный уровень 1 — а, если с2 определяется как квантили централвного хи-квадрат распределения сp степенями свободы: Kp(c2) =
1 — а, где Kp( •) - функция распределения хи-квадрат. Оказывается, если в DX вместо оценки X подставить сжимающую оценку
ЩХ) = (l — ПрX|-) XI{n || X I2 > p — 2}, p > 3,
(положителвную части оценки Джеймса-Стейна [?]), то множество
D§+ = {в : n | в — 5+(X) |2 < с2}
будет также (1—а)-доверителвнв1м, сохраняющим минимаксное свойство множества DX и обладающим значителвно болвшей вероятностью накрв1тия. Эта вероятности зависит толвко от расстояния т2 между вектором в и точкой сжа- 
ТИЯ Д (= 0) т2 = П У в у2.
В статье [1] была предложена аппроксимация вероятности накрытия Q+(T) = P(Ds+), которая зависит от значений вектора в через параметрическую функцию т2 = п||в||2. Эта аппрокимация является убывающей функцией т2 и имеет вид
q++(t) = Kp(w(c, т)) + Rp(t), где
с2 — т2 / (с2 — т2)2
w(c, т) = р — 2 + м/ 1 + с2т2 — (р — 2 )(т2 — с2).
Остаточный член аппроксимации Rp(т) представляется в виде двойного интеграла и устанавливается, что Rp(т) = 0(т2) при т ^ 0 и Rpe) = 0(т—2) в случае т ^ то.
v2 h(x) w Уж
dx J f(x, y)dy —
w —y vi h(x)
Дальнейшие исследования были посвящены уточнению этой первого порядка с помощью разложения по степеням малых значений параметра т или аппроксимации с помощью специального выбора "секущего"значения (замена w на другую функцию от т, близкую к w)
Так, используя метод асимтотического разложения вероятности накрытия по степеням т, предложенный в статье [1], был определен коэфициент при т2, когда т ^ 0 и т ^ то. Численные иллюстрации проведенные в этой статье показывают, что использование асимптотики второго порядка практически не сказывается на улучшении глобальной точности асимтотики в сравнении с асимтотикой первого порядка. Далее были предпринеты попытки в статье [3] построить асимтотику третьего порядка. Она так же не внесла никого вклада в увелечении глобальной точности для вероятности накрытия.
Существенное повышение точности апроксимации было достигнуто в работе [4] с помощью замены w на функцию w(c, т) определяемой через равенство площадей для двух облостей определяющих пределы в двойном ин- 
теграле (1) в остаточном члену Rp(т)
Содержание дипломной работы организованно следующим образом.
В первом параграфе дается обзор существующих публикаций по асимптотическому исследованию верояности накрвгтия и приводятся графики иллюстрирующие точности глобальных аппроксимаций из статей [1], [2], [3], [4].
Во втором параграфе рассматривается асимтотическое разложение вероятности накрытия не по степеням т, а некоторой специальной функцией от т. При т ^ 0 и т ^ ж эта функция обращается в ноль, то есть ведет себя грубо говоря как т. Выделяется только втрой член аппроксимации и показывается, что дальнейшее разложение невозможно. Дабавление второго члена к аппроксимации первого порядка значительно ухудшает эту аппроксимацию, но с помощью численных и графических иллюстраций было замечено, что деление добавочного члена на л/w значительно улучшает апроксимацию по сравнению со всеми остальными для (р меньше или равного знач.) Так же было отмечено, что использование иного подхода к разложению, расммотренного в статье [4], так же улучшает глобальную аппроксимацию.
Купить