Магистерская квалификационная работа посвящена построению численных методов решения параболического уравнения со слабой нелинейностью.
Уравнения подобного типа возникают, например, при математическом моделировании процессов теплопроводности. Так, например, при а = 2 рассматриваемое уравнение описывает распределение температуры в пластине, если на ее боковой поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Если а > 1, то данное уравнение описывает распределение температуры в пластине с источниками тепла, плотность распределения которых зависит от температуры стержня [8].
Работа состоит из введения, двух глав, заключения, приложения и списка использованной литературы.
В первой главе дается постановка задачи. Вводятся обозначения и строятся явная и неявная разностные схемы. Во второй главе приводятся результаты численных экспериментов по явной схеме, описан алгоритм реализации неявной схемы и проведены численные эксперименты.
Программа для реализации явной и неявной разностных схем написана в программной среде MATLAB. Он предназначен для сложных численных экспериментов, разработки алгоритмов и различных графических представлений данных [5].
Работа оформлена в редакторской среде LateX. Он предназначен для быстрого и простого набора формул, обеспечивает их отображение.
Для параболического уравнения со слабой нелинейностью построены явная и неявная разностные схемы. Создан комплекс программ, реализующих методы решения построенных схем. Тестирование алгоритмов проводилось на модельной задаче с точным решением.
Результаты численных экспериментов показали, что явная схема условно устойчива, при этом условие устойчивости зависит от параметра при слабой нелинейности. Неявная схема абсолютно устойчива. Используемый в работе итерационный метод для решения неявной схемы сходится, при этом не возникает условия на шаги сетки по пространственным и временной переменным. Все методы решения дают погрешность решения порядка O(h2 + т).
Полученные эксперименты позволяют сделать следующий вывод:
1. При выполнении условия на шаги сетки по пространственной и временной переменной погрешность решения растет со временем. Явную схему целесообразно использовать при небольших временных интервалах.
2. Неявная схема абсолютно устойчива. Неявная схема позволяет вычислять решения на больших временных интервалах.
